Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Seja V o subespaço vetorial de R 4 gerado pela família v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , onde v 1 = ( 1,0 , - 1,2 ) , v 2 = ( 0,3 , 0,1 ) , v 3 = ( 1,3 , - 1,3 ) , v 4 = ( 2 , - 3 , - 2,3 ) , v 5 = ( - 1,6 , 1,2 ) . A dimensão de V é igual a:

a )   5

b )   3

c )   4

d )   1

e )   2

Passo 1

Falaaa, blz??? Bora para mais uma questãozinha. Esse problema envolve um subespaço gerado por uma família de vetores, isso te lembra alguma coisa??

Quando dizemos que um espaço é gerado por uma família de vetores, tamo dizendo que essa família serve, basicamente, como uma base. Porém, para ser considerada de fato uma base precisamos de um requisito chave, que é:

Seja B ⊂ R n , tal que:

B = u 1 , u 2 , …   , u m  

Dizemos que B é base de R n   ↔ m = # B = dim ⁡ R n = n     e   t o d o s   v e t o r e s   d e   B   s ã o   L . I

o n d e   # B   é   a   q u a n t i d a d e   d e   e l e m e n t o s   d o   c o n j u n t o   B

Agora, olhe para a família de vetores da questão:

B ⊂ R 4   t a l   q u e :

B = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5

E pelo enunciado, temos que V =   v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5

Vale ressaltar que V tem no máximo dimensão 4, uma vez que é subespaço de R 4 . Ou seja, já sabemos que pelo menos um desses vetores de B deve estar fora da base de V. Caso contrário, teríamos 5 vetores em B, gerando um espaço de dimensão 4, ou seja, B não seria uma base (não cumpriria os requisitos falados).

Passo 2

Então agora vamos entender o que devemos fazer:

Sabemos que B é candidato a base de V (pois gera V), porém, precisamos arrumar B para que se encaixe numa base, assim, sabendo a quantidade de vetores L.I de B (que formam a base) sabemos a dimensão de V, uma vez que o conjunto de vetores L.I de B formam uma base de V.

Bora lá, descobrir quem são os vetores L.I de B:

Primeiro, vamos visualizar que:

v 3 = v 1 + v 2

Logo, como v 3 é combinação de v 1   e   v 2 , ele não é L.I, então já não serve para o que queremos (achar a base), ou seja, agora vamos olhar para o nosso novo conjunto:

B 2 =     v 1 , v 2 , v 4 , v 5

Nossa ideia antes era ir excluindo vetores de B até sobrar apenas os L.I. Agora vamos fazer o mesmo para B 2

Passo 3

Bora olhar para:

B 2 =     ( 1,0 , - 1,2 ) ,   ( 0,3 , 0,1 ) ,   ( 2 , - 3 , - 2,3 ) ,   ( - 1,6 , 1,2 )

Agora, vamos usar o seguinte conceito:

Dizemos que v 1 , v 2 , v 4 , v 5 são L.I se a única solução para a equação

a v 1 + b v 2 + c v 4 + d v 5 = 0

É a = b = c = d = 0

Bora ver qual a solução para a equação:

a 1,0 , - 1,2 + b 0,3 , 0,1 + c   2 , - 3 , - 2,3 + d - 1,6 , 1,2 = ( 0,0 , 0,0 )

Ou seja

a + 2 c - d = 0 3 b - 3 c + 6 d = 0 - a - 2 c + d = 0   2 a + b + 3 c + 2 d = 0

Agora, veja que a primeira e terceira equação são equivalentes, ou seja, podemos resumir nosso sistema a:

a + 2 c - d = 0 3 b - 3 c + 6 d = 0 2 a + b + 3 c + 2 d = 0

Usando que a = d - 2 c na segunda e terceira:

3 b - 3 c + 6 d = 0                                         2 d - 2 c + b + 3 c + 2 d = 0

Dividindo a primeira por 3 e ajustando a segunda:

b - c + 2 d = 0                                         b - c + 4 d = 0                                                

Subtraindo as duas, achamos que d = 0     e   b = c

Voltando em a = d - 2 c → a = - 2 c = - 2 b

Logo, temos que:

a v 1 + b v 2 + c v 4 + d v 5 = 0

- 2 c v 1 + c v 2 + c v 4 = 0

c - 2 v 1 + v 2 + v 4 = 0

Daqui, tiramos que - 2 v 1 + v 2 + v 4 = 0   o u   c = 0  

Mas veja que - 2 v 1 + v 2 + v 4 =   - 2 1,0 , - 1,2 + 0,3 , 0,1 + 2 , - 3 , - 2 , - 3 = 0,0 , 0,0

Ou seja - 2 v 1 + v 2 + v 4 = 0   → v 2 = 2 v 1 - v 4

Logo, vamos excluir v 2 , uma vez que ele não é L.I com v 1   e   v 4

Passo 4

E bora continuar na luta, agora temos, pelo mesmo raciocínio já feito:

B 3 = v 1 , v 4 , v 5

Agora, vamos ver se finalmente esses 3 vetores são L.I, pelo mesmo processo:

a v 1 + b v 4 + c v 5 = 0

Ou seja:

a 1,0 , - 1,2 + b   2 , - 3 , - 2,3 + c - 1,6 , 1,2 = ( 0,0 , 0,0 )

a + 2 b - c = 0 - 3 b + 6 c = 0     - a - 2 b + c = 0 2 a + 3 b + 2 c = 0

Mas a primeira e terceira são análogas, vamos resumir esse sistema, além de dividir por 3 a segunda equação, para facilitar

a + 2 b - c = 0 - b + 2 c = 0     2 a + 3 b + 2 c = 0

Subtraindo a terceira da segunda:

2 a + 4 b = 0 → a + 2 b = 0 ,     p e l a   p r i m e i r a   e q u a ç ã o ,   t e m o s   q u e   c = 0

Mas com c = 0 , na segunda temos que b = 0 e, portanto, a = 0

Ou seja, a solução para a v 1 + b v 4 + c v 5 = 0   é   a = b = c = 0 , logo

B 2 = v 1 , v 4 , v 5   é   u m   c o n j u n t o   L . I s e r v e   p a r a   b a s e   d e   V

L o g o ,   d i z e m o s   q u e dim ⁡ V = 3 = # B 2  

Resposta

Letra B

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