Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Faça o que se pede

a) Encontre uma base β para:

H =   s p a n { 1 ,   0 ,   2 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   3 ,   - 2 ,   4 }

Além disso, diga qual a dimensão de H .

b) O conjunto:

α = { x 2 - 1 , x 2 + 1 , x - 1 , x 2 + x - 4 }

é linearmente independente? Calcule também d i m ⁡ ( s p a n α ) .

c) Dê uma base e uma dimensão para H :

H = s p a n - 1 2 0 3 , 2 - 1 - 3 0 , 1 1 - 3 3 , 2 2 - 6 6

Passo 1

a) Antes de tudo, vamos tentar achar os vetores que são C L dos outros, pois uma base possui apenas vetores L I (lembrar a definição!).

Olhando para o espaço gerado, podemos descartar o vetor nulo, que é uma C L de qualquer vetor.

Podemos verificar que o vetor 3 , - 2,4 pode ser escrito como

3 , - 2,4 = 2 1 , - 1,1 + 1,0 , 2

e também pode ser eliminado. Logo, nos resta apenas:

{ 1 ,   0 ,   2 ,   1 ,   - 1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 }

Passo 2

Podemos observar também que

0,1 , 1 = 1,0 , 2 - ( 1 , - 1,1 )

e vamos descartar o vetor 0,1 , 1 também.

Assim sobrou apenas:

{ 1,0 , 2 , 1 , - 1,1 }

Esses vetores ai em cima são L . I , pois um não é uma C L do outro. Na dúvida, aplique a definição e verifique (ache coeficientes iguais a zero).

Encontramos β = { 1,0 ,   2 ,   1 , - 1 ,   1 }

Como a base possui 2 vetores, temos dim ⁡ H = 2 .

Passo 3

Letra b) Bom, se queremos verificar se aquele conjunto é L I , vamos fazer uma C L entre eles:

a x 2 - 1 + b x 2 + 1 + c x - 1 + d x 2 + x - 4 = 0 ⇒

a x 2 - a + b x 2 + b + c x - c + d x 2 + d x - 4 d = 0

Após desenvolver, basta apenas agrupar os termos em { 1 , x , x 2 } , já que sabemos que este conjunto é L I . Assim, igualamos seus coeficientes a zero.

- a + b - c - 4 d + c + d x + a + b + d x 2 = 0 ⇒

- a + b - c - 4 d = 0   ( I ) c + d = 0 ⇒ c = - d   ( I I ) a + b + d = 0 ⇒ a = - b - d   ( I I I )

Passo 4

Substituindo as equações I I e ( I I I ) na ( I ) , temos:

b + d + b + d - 4 d = 0 ⇒

- 2 d + 2 b = 0 ∴ d = b

Portanto podemos concluir que:

c = - b

a = - 2 b

d = b

b = b

Então, se colocarmos a = - 2 ,   b = 1 ,   c = - 1 ,   d = 1 teremos zero, ou seja, existe uma combinação linear dando zero sem ser a trivial. O que isso nos diz? Que os vetores são LD!

Beleza agora que sabemos que o conjunto é LD, vamos ver qual ou quais vetores podem ser escrito como CL dos demais. Dessa forma, saberemos quais podem ser descartados por serem redundantes e assim teremos nossa base!

Nossa equação principal fica assim:

- 2 b x 2 - 1 + b x 2 + 1 - b x - 1 + b x 2 + x - 4 = 0

Dividindo tudo por b , já que como são L D ,   b ≠ 0 :

- 2 x 2 - 1 + x 2 + 1 - x - 1 + x 2 + x - 4 = 0 ∴

x 2 + x - 4 = 2 x 2 - 1 - x 2 + 1 + ( x - 1 )

Passo 5

E assim vemos que podemos descartar x 2 + x - 4 . Mas isso não torna o novo conjunto

{ x 2 - 1 , x 2 + 1 , x - 1 }

L I . Precisamos verificar isso de novo. Uma dica para não ter tanto trabalho é aproveitar as equações já feitas e apenas remover o d delas.

- a + b - c + c x + a + b x 2 = 0

- a + b - c = 0   ( I V ) c = 0 ⇒ c = 0   ( V ) a + b = 0 ⇒ a = - b   ( V I )

Tomando c = 0 pela equação ( V ) :

- a + b = 0 ⇒ a = b a = - b

Somando as duas vemos que:

2 a = 0 ∴ a = 0 = b

Portanto, sim, o novo conjunto é L I e a dimensão é 3.

Passo 6

Passo 7

Letra c) Primeiramente, vamos verificar se o conjunto é L I , mas, em vez de usarmos a definição podemos ter um pouco menos de trabalho e usar o teorema vendo se alguma matriz é uma C L das demais. Sempre tente fazer isso antes de aplicar a definição a não ser que peçam para você provar, é claro.

Repare que, para a quarta matriz, 2 2 - 6 6 = 2 1 1 - 3 3 . Logo, podemos descartar esta quarta matriz.

Outra coisa que podemos ver é que a terceira matriz 1 1 - 3 3 é a soma da primeira com a segunda. Assim podemos eliminar já as duas últimas.

Passo 8

Repare que as duas que sobraram

- 1 2 0 3 , 2 - 1 - 3 0

são L I , pois uma possui um zero no terceiro elemento, e a outra zero no quarto elemento, logo uma não consegue gerar a outra.

Assim uma possível base é β = - 1 2 0 3 , 2 - 1 - 3 0 e dim ⁡ H = 2 .

Resposta

a) β = { 1,0 ,   2 ,   1 , - 1 ,   1 } , dim ⁡ H = 2 .

b) Não.   dim ⁡ s p a n α = 3 .

c) Base β = - 1 2 0 3 , 2 - 1 - 3 0 e dim ⁡ H = 2 .

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