Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Sejam a , b   ∈ R , e considere o subespaço vetorial

S = 1 - t 2 + t 3 , 1 + t + b t 2 , a t + a t 2 + t 3

De P 3 ( R ) . Se dim ⁡ S < 3 , então 2 a + 3 b é igual a

a )   2

b ) - 2

c )   0

d ) - 1

e )   1

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bora começar essa questão envolvendo dimensão de subespaço vetorial.

Primeiro, devemos lembrar que a dimensão de um subespaço vetorial está ligada a quantidade de vetores L.I que geram esse espaço.

Como dim ⁡ S < 3 , temos que S é gerado por menos de 3 vetores L.I, ou seja, dentro do conjunto 1 - t 2 + t 3 , 1 + t + b t 2 , a t + a t 2 + t 3 temos pelo menos 1 vetor que não é L.I com os outros.

Passo 2

Como já sabemos disso, vamos supor que um desses vetores não é L.I, ou seja, ele é escrito como combinação dos outros 2

1 - t 2 + t 3 = α 1 + t + b t 2 + β a t + a t 2 + t 3

Ou seja:

1 - t 2 + t 3 = α + t α + a β + t 2 α b + β a + t 3 β

Igualando os dois lados, temos que α = 1   e   β = 1   , basta olhar para o termo de grau 3 o termo independente

Passo 3

Ou seja, vamos reescrever tudo:

1 - t 2 + t 3 = 1 + t + b t 2 + a t + a t 2 + t 3

1 - t 2 + t 3 = 1 + t a + 1 + t 2 b + a + t 3

Logo:

- t 2 = t a + 1 + t 2 b + a

Daqui, podemos tirar que a = - 1  

- t 2 = t 2 b - 1

Logo, temos que b = 0

Ou seja, se dim ⁡ S = 2 → a = - 1   e   b = 0 ∴ 2 a + 3 b = - 2

Aliás, vale ressaltar que a dimensão não pode ser 1, pois estaríamos dizendo que o conjunto dado por 1 + t + b t 2 , a t + a t 2 + t 3 não seria L.I, ou seja, poderíamos escrever um como combinação do outro, mas basta olhar para o termo independente, pois o primeiro tem e o segundo não, então não tem como multiplicarmos o segundo por algum real e dar o primeiro.

Agora que acabamos esse probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra B

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