Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

e) Calcule a dimensão de C ( A ) .

Passo 1

Letra e)

Seja B = x y z w

Como temos a matriz A dessa vez, vamos aplicar as condições de C ( A ) e achar a B de fato:

A B = B A ⇒

1 - 1 - 4 1 x y z w = x y z w 1 - 1 - 4 1 ⇒

x - z y - w - 4 x + z - 4 y + w = x - 4 y - x + y z - 4 w - z + w ⇒

x - z = x - 4 y ⇒ z = 4 y - 4 x + z = z - 4 w ⇒ x = w y - w = - x + y ⇒ x = w - 4 y + w = - z + w ⇒ z = 4 y

Passo 2

Substituindo os valores na B :

B = w y 4 y w = w 1 0 0 1 + y 0 1 4 0

Logo,

C A = s p a n 1 0 0 1 ,   0 1 4 0

Como achamos duas matrizes L I , então dim ⁡ C A = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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