Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Resolva o problema

E D     ∂ t u = 3 ∂ x 2 u ,       0 ≤ x ≤ 3 ,   t ≥ 0 ;

                    C F     ∂ x u 0 , t = 0 ,       ∂ x u 3 , t = 0 ,       t ≥ 0 ;                     C I   u x , 0 = f x ,         0 ≤ x ≤ 3

no caso seguinte:

a )   f x = 1 3 - 4 cos ⁡ 2 π 3 x + 2 cos ⁡ 5 π 3 x .

Passo 1

E aí galerinha, tudo bem?

Temos aqui um probleminha das nossas famosas EDP: equação diferencial parcial, mais especificamente, a equação do calor.

Como foi dado nas condições de fronteira que:

∂ x u 0 , t = ∂ x u 3 , t = 0 ,   t ≥ 0

trata-se de um problema em que as extremidades estão isoladas termicamente. Pois, a taxa de variação da temperatura em x nas extremidades da barra é nula.

Também foi dado a condição inicial:

u x , 0 = 1 3 - 4 cos ⁡ 2 π 3 x + 2 cos ⁡ 5 π 3 x  

Massa! Sabendo de tudo isso, vamos usar o método de separação das variáveis pra resolver essa EDP, ou seja, usaremos que:

u x , t = f x g ( t )

Vamo nessa!

Passo 2

Pra resolver esse tipo de Equação, usamos o método da separação de variáveis. Daí, fazendo:

u x , t = f x g ( t )

E, substituindo na EDP, vem:

f x g ' t - 3 g t f ' ' x = 0

∴ f ' ' x f x = g ' t 3 g t

A única forma da razão dessas funções serem sempre iguais, independente do valor de x e de t , é se tivermos:

f ' ' x f x = g ' t 3 g t = λ

onde λ é uma constante.

Assim, reduzimos o nosso problema a duas EDO’s:

f ' ' x - λ f x = 0 f ' 0 = f ' 3 = 0

E:

g ' t - 3 λ g t = 0

Beleza!

Daí precisamos analisar os possíveis valores de λ :

- Se λ > 0 , então:

r = ± λ

f x = c 1 e - λ x + c 2 e λ x

Testando as condições iniciais:

f ' x = c 1 - λ ⋅ e - λ x + c 2 λ ⋅ e λ x

f ' 0 = - c 1 + c 2 λ = 0

Como não queremos a solução trivial:

c 2 - c 1 = 0

∴ c 2 = c 1

Logo:

f ' 3 = c 1 - λ ⋅ e - λ 3 + c 1 λ ⋅ e λ 3 = 0

Daí, temos:

c 1 = c 2 = 0

Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...

- Se λ = 0 , então:

r = 0

∴ f x = c 1 + c 2 x

Colocando as condições iniciais:

f ' 0 = c 2 = 0

E:

f ' 3 = c 2 = 0

Daí, temos uma solução:

f x = c 1

Massa!

- Se λ < 0 , então:

f x = c 1 cos ⁡ - λ x + c 2 s e n - λ x

Como:

f ' x = - - λ ⋅ c 1 ⋅ sen ⁡ - λ x + - λ ⋅ c 2 c o s ⁡ ( - λ x )

Pela condição inicial:

f ' ( 0 ) = c 2 - λ = 0

∴ c 2 = 0

Logo:

f ' ( 3 ) = - λ c 1 s e n 3 - λ = 0

Como não queremos a solução trivial, devemos ter:

s e n 3 - λ = 0

∴ 3 - λ = n π

⇒ λ = - n 2 π 2 3 2

Daí, desconsiderando a constante c 1   ( c 1 = 1 ) , temos que as autofunções são:

f n x = c o s n π x 3 ,     n = 1,2 , 3 , …

Perfeito.

Passo 3

Substituindo agora o valor que encontramos para λ na EDO em g ( t ) , teremos que:

g ' t - 3 - n 2 π 2 9 g t = 0

Logo:

g t = e - 3 n 2 π 2 9 t

= e - n 2 π 2 3 t

Daí, juntando todas as soluções de f e g , e lembrando que:

u x , t = f x g t

Chegamos que:

u x , t = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 3 t ⋅ cos ⁡ n π x 3

Pra matar a questão precisamos apenas descobrir quanto vale c n , e é justamente aí que entra nossa condição inicial, C I , dada no problema.

u x , 0 = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n ⋅ cos ⁡ n π x 3 = 1 3 - 4 cos ⁡ 2 π 3 x + 2 cos ⁡ 5 π 3 x

Ou seja gente, a nossa solução da EDP para t = 0 é justamente a extensão par e periódica de f ( x ) .

Assim, o coeficiente c n , para n = 0,1 , 2 , … são os coeficientes da série de Fourier de f ( x ) , que podem ser calculados como:

c n = 2 3 ⋅ ∫ 0 3 1 3 - 4 cos ⁡ 2 π 3 x + 2 cos ⁡ 5 π 3 x ⋅ cos ⁡ n π x 3 d x

Massa! Nossa missão então se resume a resolver essa integral!

Passo 4

Para resolver a integral que define c n , vamos separá-la em três partes:

c n = 2 9 ∫ 0 3 cos ⁡ n π x 3 d x - 8 3 ∫ 0 3 cos ⁡ 2 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x + 2 2 3 ⋅ ∫ 0 3 cos ⁡ 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x

Então, precisamos resolver as três integrais acima. Começando pela primeira, vamos ter que:

2 9 ∫ 0 3 cos ⁡ n π x 3 d x = 2 9 ⋅ 3 n π ⋅ s e n n π x 3 0 3

que é válido apenas para n ≠ 0 .

= 2 3 n π ⋅ s e n n π = 0  

Se n = 0 , então:

∫ 0 3 cos ⁡ 0 ⋅ π x 3 d x = ∫ 0 3 1 d x

= 3

Ou seja:

∫ 0 3 cos ⁡ n π x 3 d x = 3 ,     n = 0 0 ,     n ≠ 0

Massa!

Pra resolver as outras duas tem uma transformação trigonométrica bem importante que vamos utilizar, bora revisar:

cos ⁡ p + cos ⁡ q = 2 ⋅ cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

Assim, temos que, na segunda integral:

cos ⁡ 2 π 3 x cos ⁡ n π x 3 = 1 2 cos ⁡ n + 2 π x 3 + cos ⁡ n - 2 π x 3

Substituindo na segunda integral, teremos:

∫ 0 3 cos ⁡ 2 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x = 1 2 ⋅ ∫ 0 3 cos ⁡ n + 2 π x 3 d x + 1 2 ∫ 0 3 cos ⁡ n - 2 π x 3 d x

= 1 2 ⋅ - 3 n + 2 π ⋅ s e n n + 2 π x 3 0 3 + 1 2 ⋅ - 3 n - 2 π ⋅ s e n n - 2 π x 3 0 3

Mas cuidado, isso só é verdade se n ≠ 2 . Já já olhamos o que acontece quando n = 2 . Continuando aplicando os limites de integração...

=   - 3 2 n + 2 π ⋅ s e n ( n + 2 π ) - 3 2 n - 2 π ⋅ s e n ( n - 2 π )  

O problema é que, como n ∈ N , n ± 2 sempre será um número inteiro. Logo:

s e n n + 2 π = s e n n - 2 π = 0

Perfeito! Agora sim, se n = 2 , vamos ter:

∫ 0 3 cos ⁡ n - 2 π x 3 d x = ∫ 0 3 1 ⋅ d x

= 3

Portanto, o resultado da segunda integral é:

∫ 0 3 cos ⁡ 2 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x = 3 ,     n = 2 0 ,     n ≠ 2

Muito bom!

Por fim, vamos analisar a última integral.

∫ 0 3 cos ⁡ 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x

Usando a mesma transformação trigonométrica, vem que:

cos ��� 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 = 1 2 cos ⁡ n + 5 π x 3 + cos ⁡ n - 5 π x 3

Substituindo na integral:

∫ 0 3 cos ⁡ 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x = 1 2 ⋅ ∫ 0 3 cos ⁡ n + 5 π x 3 d x + 1 2 ∫ 0 3 cos ⁡ n - 5 π x 3 d x

Resolvendo as integrais para n ≠ 5 , temos:

= 1 2 ⋅ - 3 n + 5 π ⋅ s e n n + 5 π x 3 0 3 + 1 2 ⋅ - 3 n - 5 π ⋅ s e n n - 5 π x 3 0 3

=   - 3 2 n + 5 π ⋅ s e n ( n + 5 π ) - 3 2 n - 5 π ⋅ s e n ( n - 5 π )  

Novamente, como n + 5 ∈ Z , temos que o seno é nulo. Logo, para n ≠ 5 :

∫ 0 3 cos ⁡ 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x = 0

Para n = 5 , ficamos com:

∫ 0 3 cos ⁡ 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x = 1 2 ∫ 0 3 cos ⁡ 5 - 5 π x 3 d x

∫ 0 3 1 d x = 3

Portanto:

∫ 0 3 cos ⁡ 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x = 3 ,     n = 5 0 ,     n ≠ 5

Perfeito!

Passo 5

Juntando todos os resultados obtidos no item anterior, chegamos que:

c n = 2 9 ∫ 0 3 cos ⁡ n π x 3 d x - 8 3 ∫ 0 3 cos ⁡ 2 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x + 2 2 3 ⋅ ∫ 0 3 cos ⁡ 5 π 3 x cos ⁡ n π x 3 d x

c n =   2 9 ⋅ 3 ,     n = 0 - 8 3 ⋅ 3 ,     n = 2 2 2 3 ⋅ 3 ,     n = 5 0 ,     n ≠ { 0,2 , 5 }

Assim, podemos escrever a função u ( x , t ) como sendo:

u x , t = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 3 t ⋅ cos ⁡ n π x 3

∴ u ( x , t ) = 1 3 - 8 ⋅ e - 4 π 2 3 t ⋅ cos ⁡ 2 π x 3 + 2 2 ⋅ e - 25 π 2 3 t ⋅ cos ⁡ 5 π x 3  

Ufaaaa!!! Terminamos essa questão!

Deu um trabalho bom mas saiu! Obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

u ( x , t ) = 1 3 - 8 ⋅ e - 4 π 2 3 t ⋅ cos ⁡ 2 π x 3 + 2 2 ⋅ e - 25 π 2 3 t ⋅ cos ⁡ 5 π x 3

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