Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

Ver Teoria

Enunciado

Considere as equações diferenciais de calor numa barra de tamanho 1 dadas a seguir:

u x x = u t u 0 , t = 0 ; u 1 , t = 0 ; u x , 0 = - x 2 + 5 x + 1

v x x = u t v 0 , t = 0 ; v 1 , t = 0 ; v x , 0 = 0

w x x = w t v 0 , t = 0 ; v 1 , t = 1 ; w x , 0 = 0

z x x = z t z 0 , t = 5 ; z 1 , t = - 3 ; z x , 0 = - x 2 + 5 x + 1

Podemos dizer que a solução que melhor representa lim t → ∞ ⁡ z ( x , t ) é dada por:

Escolha uma opção:

a) 5 v - 3 w

b) 5 v + 3 w - u

c) u + 5 v - 3 w

d) - 3 v + 5 w

Passo 1

Vamos começar fazendo a separação de variáveis. Vamos supor que a função z ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável x por outra apenas da variável t , dessa forma:

z x , t = Z x ⋅ T ( t )

Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, z ( x , t ) tem que satisfazer a equação de calor, não é?

z x x = z t

(Nesse caso, temos α = 1 .) Então, vamos substituí-la ai! Temos:

Z ' ' x ⋅ T t = Z x ⋅ T ' t

Repare que, derivando u ( x , t ) em relação a t , X ( x ) é vista como constante, o mesmo ocorre para t   quando derivamos em relação a x . Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

Z ' ' x Z x = T ' t T t

Como essa igualdade deve valer para todo x e para todo t e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:

Z ' ' x Z x = T ' t T t = - λ

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

Z ' ' + Z = 0 T ' + λ T = 0

Passo 2

Resolver o problema de contorno.

Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!

Z ' ' + λ Z = 0

Z 0 = 5

Z 1 = - 3

Passo 3

Tendo o valor de λ n , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + λ T = 0

Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:

T t = e - λ t

Substituindo λ :

T n t = e - λ t  

Sabendo que z x , t = Z x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

z n x , t = sen ⁡ ( n π x ) e - λ t             n = 1,2 , 3 …

Passo 4

Escrever z ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse z n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ( n π x ) e - λ t    

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse b n de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:

z x , 0 = - x 2 + 5 x + 1        

Veja que, substituindo t = 0 na série, temos u ( x , 0 ) :

z x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ( n π x ) ⏟ c n   = 5 v - 3 w    

E a letra (a) é a nossa resposta!!

Resposta

a) 5 v - 3 w

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se
Ao resolver equações diferenciais, quase sempre os cálculos podem ser simplificados por meio da utilização de variáveis adimensionais.Mostre que, se introduzirmos a variável adimensional ζ = x L , equ
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades sãomantidas à temperatura 0°C para todo t0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre umaexpressão para a tem
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades sãomantidas à temperatura 0°C para todo t0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre umaexpressão para a tem
Encontre a solução do problema de condução de calor 100 u x x = u t ,0x1 ,t0 ; u ( 0 , t ) = 0 ,u ( 1 , t ) = 0 ,t0 ; u ( x , 0 ) = s e n 2 π x - s e n 5 π x ,0 ≤ x ≤ 1