Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando cada passo detalhadamente:

10 u t = u x x ,     0 ≤ x ≤ 5 ,     t > 0 ; u 0 , t = u 5 , t = 0 ;                                       u x , 0 = 25 .                                

Passo 1

Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , t = X x T t

Note que se trata de uma equação de calor.

Com a separação, teremos:

u t x , t = X x T ' ( t )

u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Portanto, nossa equação se torna

10 u t = u x x

10 X x T ' t = X ' ' x T ( t )

10 T ' t T t = X ' ' ( x ) X x = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em t ):

T ' t + 1 10 λ T t = 0 X ' ' x + λ X x = 0

Passo 2

Agora, vamos olhar para as condições iniciais:

u 0 , t = 0 → X 0 T t = 0       ( I )

u 5 , t = 0 → X 5 T t = 0       ( I I )

u x , 0 = 25 → U x T 0 = 25         ( I I I )

De ( I ) e ( I I ) , se T t = 0 , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em u x , t = X x T t = 0 , não atenderia à condição ( I I I ) . Logo, T t ≠ 0 .

Passo 3

Neste caso, nos resta admitir o seguinte:

X 0 = 0

X 5 = 0

Assim, formamos o seguinte problema:

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X 5 = 0

Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± i λ

E a solução geral é da forma

X x = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

Passo 4

Aplicando as condições de contorno:

X 0 = C 1 = 0

X 5 = C 2  sen ⁡ 5 λ = 0 →  sen ⁡ 5 λ = 0

Note que na última equação não podemos ter C 2 = 0 (se não teríamos X x = 0 ). Então, precisamos de sen ⁡ 5 λ = 0 . Como C 1 = 0 , sobra

X x = C 2 sen ⁡ λ x

Passo 5

Como queremos sen ⁡ 5 λ = 0 , basta fazer 5 λ = n π ,   n ∈ Z + , de modo que obtemos λ n = n π 5 2 . Estes são nossos autovalores!

Portanto, ficamos com

X x = C 2 sen ⁡ n π x 5

que são nada mais nada menos que nossas autofunções!

Passo 6

Agora que já conhecemos os autovalores λ n = n π 5 2 , vamos voltar pra equação em t :

T ' t + 1 10 λ T t = 0

d T d t = - 1 10 λ T

∫       d T T = - 1 10 λ ∫     d t

ln ⁡ T = - 1 10 λ t

T t = e - λ t 10

Fácil, né? Vamos substituir λ por λ n :

T t = e - n π 5 2 t 10    

E, assim, uma solução deve ser

u x , t = X x T t

u x , t = C 2 sen ⁡ n π x 5 e - n π 5 2 t 10    

Passo 7

Mas perceba só, se u ( x , t ) é solução, qualquer combinação linear de u também será solução. Isto é, uma solução geral pode ser

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n sen ⁡ n π x 5 e - n π 5 2 t 10    

Beleza, mas e agora, os coeficientes...? Bom, aí é só aplicar aquela condição ( I I I ) , lembra?

u x , 0 = U x T 0 = 25  

Então, com t = 0 :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ d n sen ⁡ n π x 5 = 25

Passo 8

Para tudo! Agora, você olha pra essa equação e percebe o quê? Cara, é a Série de Fourier!

Então não tem mágica alguma, a questão é que esses d n são os coeficientes da Série de Fourier da função f x = 25 . E digo mais, da extensão ímpar de f ( x ) , pois a série está só em senos.

Vamos definir essa extensão assim:

f x = - 25 ,       - 5 < x < 0 25 ,       0 < x < 5 0 ,       x = 5 k ,   k ∈ Z             f x + 10 = f ( 10 )

Essa função tem período T = 2 L = 10 , logo L = 5 . Então vamos calcular os coeficientes. Troque d n por b n se você achar mais conveniente para a série de senos! =)

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 5 ∫ - 5 5 f ( x ) sen ⁡ n π x 5 d x

b n = ∫ - 5 0 - 25 5 sen ⁡ n π x 5 d x + ∫ 0 5 25 5 sen ⁡ n π x 5 d x

b n = 25 5 5 n π c o s n π x 5 - 5 0 - 25 5 5 n π c o s n π x 5 0 5

b n = 25 n π 1 - c o s ⁡ ( - n π ) - 25 n π [ cos ⁡ n π - 1 ]

Passo 9

Como cos ⁡ - n π = cos ⁡ n π = - 1 n :

b n = 50 n π 1 - - 1 n

Logo:

b n = 0 ,       n   p a r 1 00 n π ,       n   í m p a r

E aí a série fica assim

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x 5

Como para n ímpar podemos fazer n = 2 k + 1 , k ∈ Z + , fica assim:

b 2 k + 1 = 1 00 2 k + 1 π

Portanto:

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 00 2 k + 1 π sen ⁡ ( 2 k + 1 ) π x 5

E, finalmente, a solução é dada por

u x , t = ∑ n = 0 ∞ 1 00 2 k + 1 π sen ⁡ ( 2 k + 1 ) π x 5 e - n π 5 2 t 10    

Resposta

u x , t = ∑ n = 0 ∞ 1 00 2 k + 1 π sen ⁡ ( 2 k + 1 ) π x 5 e - n π 5 2 t 10    

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