Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Determine a solução u ( x , t ) do problema

u t x , t = 4 u x x x , t x ∈ 0 , π , t ∈ 0 , ∞ u x 0 , t = u x π , t = 0 t ∈ 0 , ∞ u x , 0 = g x x ∈ 0 , π  

Onde

g x = 0   s e   0 ≤ x ≤ π 4 1   s e   π 4 < x ≤ 3 π 4 0   s e   3 π 4 < x ≤ π  

Passo 1

Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e para resolve-la temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis.

u = X x T ( t )

Substituindo na equação teremos

X x T ' t = 4 X ' ' x T t ⇔ X ' ' x X x = T ' t 4 T t

Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de t e o lado direito não depende de x , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real λ .

X ' ' x X x = T ' t 4 T t = - λ

Disso obtemos as duas EDOs

X ' ' x = - λ X x ,     T ' t = - 4 λ T ( t )

Passo 2

Vamos analisar as condições de contorno

u x 0 , t = X ' 0 T t = 0

u x π , t = X ' π T t = 0

Como essas igualdades devem valer para todo t no nosso intervalo.

X ' 0 = X ' π = 0

Isso nos dá um PVI com a EDO de 2ª ordem em x que encontramos no passo anterior.

Passo 3

Como temos uma equação de calor homogênea, nós já sabemos de cara que só teremos soluções não triviais para Δ < 0 e essas soluções terão o seguinte formato.

λ n = π m L 2 ,     m ∈ Z +

X n x = c 1 cos ⁡ ( | λ n | x ) + c 2 sin ⁡ | λ n | x

E quando você usar as condições que ele deu:

X ' 0 = X ' π = 0

Vai achar que:

X n x = cos ⁡ ( | λ n | x )

Ficou com dúvida? Dá uma olhada lá na teoria por que o lambda tem esse valor. Pra equações de calor homogêneas isso é uma fórmula.

Porém, a solução X n x pode variar de acordo com as condições que o problema dá (pode ser em seno ou cosseno). Nesse caso, tem que ser em cosseno pra atender às condições, sacou?

Como nesse caso L = π , teremos.

λ n = m 2 ,     m ∈ Z +

X n x = cos ⁡ ( m x )

Passo 4

Vamos resolver a equação de T que encontramos no passo 1 utilizando esse λ n

T ' t = - 4 m 2 T ( t )

T m t = a m e - 4 m 2 t

Com isso obtemos a seguinte solução:

u = X x T ( t )

u x , t = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m e - 4 m 2 t cos ⁡ ( m x )

Passo 5

Vamos utilizar a última condição inicial agora

u x , 0 = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ ( m x ) = g ( x )

Caímos numa série de Fourier em cossenos e precisamos usar aquelas formas que já conhecemos para encontrar os coeficientes.

a 0 = 2 π ∫ 0 π g ( x ) d x = 2 π ∫ π 4 3 π 4 d x = 1  

a m = 2 π ∫ 0 π g x cos ⁡ ( m x ) d x = 2 π ∫ π 4 3 π 4 cos ⁡ ( m x ) d x

Como na nossa função u ( x , t ) só aparecem cossenos (e não senos) não precisamos nos preocupar com o valor de b m .

Vamos calcular essa integral então. Teremos que:

2 π ∫ π 4 3 π 4 cos ⁡ ( m x ) d x = 2 π sen ⁡ m x m π 4 3 π 4 = 2 m π sen ⁡ 3 m π 4 - sen ⁡ m π 4

Assim:

a m = 2 m π sen ⁡ 3 m π 4 - sen ⁡ m π 4

Logo nossa solução será

u x , t = 1 2 + ∑ m = 1 ∞ 2 m π sen ⁡ 3 m π 4 - sen ⁡ m π 4 e - 4 m 2 t cos ⁡ ( m x )

Resposta

u x , t = 1 2 + ∑ m = 1 ∞ 2 m π sen ⁡ 3 m π 4 - sen ⁡ m π 4 e - 4 m 2 t cos ⁡ ( m x )

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