Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

Ver Teoria

Enunciado

Resolva o problema:

9 u x x = u t ,                 0 < x < 2 ,   t > 0 u 0 ,   t = 0 ,           u 2 ,   t = 0 ,   t > 0 u x ,   0 = f ( x ) ,     0 < x < 2

se a função f x é dada por:

f x = x ,     0 ≤ x ≤ 1 0 ,     1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Cara, tá bem? Isso é uma típica EDP de calor homogênea. Para resolver ela a gente usa um passo a passo que é certeiro e se repete muito nas questões desse tema.

Respira fundo e vem, porque a gente vai arrasar!

Começamos supondo que a solução tem a forma:

u x ,   t = X x ⋅ T t

Se isso é solução, então...

u x x = X ' ' x ⋅ T t

u t = X x ⋅ T ' t

Logo...

9 u x x = u t   →

9 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' t →

X ' ' x X x = T ' t 9 T t →

Aí a gente iguala isso a uma constante - λ :

X ' ' x X x = T ' t 9 T t = - λ

Então...

X ' ' x X x = - λ

E

T ' t 9 T t = - λ

Portanto, ganhamos duas EDOs:

X ' ' x + λ X x = 0   T ' t = - 9 λ T t      

Passo 2

Antes de resolvermos essas EDO’s temos que encontrar as condições de contorno e condições iniciais para sabermos por qual EDO começarmos. Vamos nessa!

Sabemos que pelas condições de contorno...

u 0 ,   t = 0 ,           u 2 ,   t = 0

Como

u x ,   t = X x ⋅ T t

Então...

u 0 ,   t = 0   →       X 0 T t = 0   →  

Como não queremos a solução trivial T t = 0 , temos:

X 0 = 0

Vamos ter algo parecido aqui

u 2 ,   t = 0   →       X 2 T t = 0   →    

X 2 = 0

Beleza, então veja que a EDO que temos mais informações é a de X ...

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = 0 X 2 = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO por equação característica...

r 2 = - λ       →           r = ± - λ = ± - λ

Então se λ < 0 , temos um argumento positivo na raiz, o que nos dá duas soluções reais e essa solução para equação:

X = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Substituindo as condições de contorno:

X 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = 0   →

c 1 = - c 2

E...

X 2 = - c 2 e 2 - λ + c 2 e - 2 - λ = 0

Como as exponenciais não são nulas...

c 2 = - c 1 = 0

Então essa solução é a trivial! A gente não a quer. Vamos ver considerando λ = 0 . Teríamos a solução da forma:

X = c 1 e 0 x + c 2 x e 0 x   → c 1 + c 2 x   →

X 0 = 0     →         c 2 = 0

X 2 = 0     →           c 1 = 0

Também deu a trivial, a gente não quer!

Passo 4

Logo, a única opção que sobrou pra gente é...

λ > 0

O que nos dá raízes complexas:

r = 0 ± λ i

Aí a solução fica:

X x = e 0 x ⋅ c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x =

c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Aplicando as condições agora...

X 0 = 0         →             X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 =

c 1 = 0

E

X 2 = 0         →             X 2 = c 1 cos ⁡ 2 λ + c 2 sen ⁡ 2 λ   →

X 2 = c 2 sen ⁡ 2 λ

Considerando c 2 diferente de 0 , para o seno ser 0 , esse termo dele tem que ser múltiplo de π ...

2 λ = n π   →

λ = 1 4 n 2 π 2

Esses são os autovalores, e as autofunções são:

X n x = sen ⁡ 1 2 n π x

Passo 5

Com esses autovalores podemos procurar a solução dessa outra EDO aqui:

T ' t = - 9 λ T t   →

d T d t = - 9 λ T ∴ 1 T d T = - 9 λ d t

Percebe que isso é uma EDO separável, aí a gente pode fazer:

ln ⁡ T = - 9 λ t + C ∴ T = K e - 9 λ t

Mas a gente viu que

λ = 1 4 n 2 π 2

Então

T = K e - 9 λ t ∴ T = b n e - 9 4 n 2 π 2 t

Onde b n é uma constante de solução para cada n .

Passo 6

A solução para cada n então é:

u n x ,   t = X n x ⋅ T n t =

u n x ,   t = b n e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

Assim, o resultado do problema homogêneo é a soma de todas as soluções lineares:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

Passo 7

Achou que tinha acabado, meu jovem? Ainda falta saber quem é b n pela outra condição que não utilizamos:

u x ,   0 = f x ,     0 < x < 2

f x = x ,     0 ≤ x ≤ 1 0 ,     1 ≤ x ≤ 2

Então...

u x ,   0 = ∑ n = 1 ∞ b n e 0 sen ⁡ 1 2 n π x →

u x ,   0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 1 2 n π x = f ( x )

Perceba, que esse b n são os índices de uma série de Fourier em senos, e ela pode ser encontrada de acordo com Fourier para série apenas de senos:

b n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sen ⁡ 1 L n π x   d x →

Para a gente, L = 2 (tamanho do intervalo de x ):

b n = ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2   d x

Mas a gente viu que no intervalo 1,2 , f x = 0 , então a gente só precisa calcular essa integral no intervalo 0,1 , porque nele f x = x :

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2   d x

Passo 8

Agora é calcular essa belezura

Integrando por partes...

u = x                     e                   d v = sen ⁡ n π x 2   d x

Logo...

d u = d x                     e                   v = - cos ⁡ n π x 2 n π 2 = - 2 n π cos ⁡ n π x 2

Como...

∫ u d v = u v - ∫ v d u   →

∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2   d x = - x ⋅ 2 n π cos ⁡ n π x 2   0 1 + ∫ 0 1 2 n π cos ⁡ n π x 2   d x →

→ - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 2 n π sen ⁡ n π x 2 n π 2 0 1 = - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2

Passo 9

Aí a gente substitui isso na nossa solução:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ b n e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x →

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

Resposta

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ - 2 n π cos ⁡ n π 2   + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 e - 9 4 n 2 π 2 t sen ⁡ 1 2 n π x

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se
Ao resolver equações diferenciais, quase sempre os cálculos podem ser simplificados por meio da utilização de variáveis adimensionais.Mostre que, se introduzirmos a variável adimensional ζ = x L , equ
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades sãomantidas à temperatura 0°C para todo t0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre umaexpressão para a tem
Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades sãomantidas à temperatura 0°C para todo t0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre umaexpressão para a tem
Encontre a solução do problema de condução de calor 100 u x x = u t ,0x1 ,t0 ; u ( 0 , t ) = 0 ,u ( 1 , t ) = 0 ,t0 ; u ( x , 0 ) = s e n 2 π x - s e n 5 π x ,0 ≤ x ≤ 1