Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Resolva o problema:

∂ u ∂ t = 2 ∂ 2 u ∂ x 2           0 < x < 3 ,     t > 0

u 0 , t = u 3 , t = 0 ,     t > 0

u x , 0 = 5 sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 sen ⁡ 8 π x + 2 sen ⁡ 10 π x ,         0 ≤ x ≤ 3

Escolha uma opção:

a) u x , t = 5 e - 32 π 2 t sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 e - 128 π 2 t sen ⁡ ( 8 π x ) + 2 e 100 π 2 t sen ⁡ ( 10 π x )

b) u x , t = 5 e 8 π 2 t sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 e - 128 π 2 t sen ⁡ ( 8 π x ) + 2 e - 200 π 2 t sen ⁡ ( 10 π x )

c) u x , t = 5 e - 32 π 2 t sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 e - 114 π 2 t sen ⁡ ( 8 π x ) + 2 e - 200 π 2 t sen ⁡ ( 10 π x )

d) u x , t = 5 e - 16 π 2 t sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 e - 128 π 2 t sen ⁡ ( 8 π x ) + 2 e - 200 π 2 t sen ⁡ ( 10 π x )

e) u x , t = 5 e - 32 π 2 t sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 e - 128 π 2 t sen ⁡ ( 8 π x ) + 2 e - 200 π 2 t sen ⁡ ( 10 π x )

Passo 1

Vamos começar fazendo a separação de variáveis. Vamos supor que a função u ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável x por outra apenas da variável t , dessa forma:

u x , t = X x ⋅ T ( t )

Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, u ( x , t ) tem que satisfazer a equação de calor, não é?

2 u x x = u t

(Nesse caso, temos α = 2 .) Então, vamos substituí-la ai! Temos:

2 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' t

Repare que, derivando u ( x , t ) em relação a t , X ( x ) é vista como constante, o mesmo ocorre para t   quando derivamos em relação a x . Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

X ' ' x X x = 1 2 T ' t T t

Como essa igualdade deve valer para todo x e para todo t e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:

X ' ' x X x = 1 2 T ' t T t = - λ

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

X ' ' + λ X = 0 T ' + 2 λ T = 0

Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis u x , t = X x ⋅ T ( t ) :

u 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

Veja que se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x ⋅ 0 = 0 , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u 3 , t = 0         →           X 3 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 3 = 0

Passo 2

Resolver o problema de contorno.

Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!

X ' ' + λ X = 0

X 0 = 0

X 3 = 0

Bom esse é um caso especial, as condições de Dirichlet homogêneas, não é? Nós já falamos sobre a solução desse problema na teoria desse capítulo, mas vamos fazer aqui passo a passo.

Temos a seguinte equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 3 = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X 1 = c 1 e 3 - λ + c 2 e - 3 - λ = 0

Isso nos dá que...

c 2 = - c 1

c 1 e 3 - λ - c 1 e - 3 - λ = 0

c 1 ( e 3 - λ - e - 3 - λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆   = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 3 = 0

X 0 = c 1 = 0

X 3 = c 1 + 3 c 2 = 0

Isso nos dá

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆   < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 3 = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X 3 = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x = 0

Isso nos dá

c 2 sen ⁡ λ 3 = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ 3 λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ = n π

λ n = n 2 π 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen ⁡ n π x                 n = 1,2 , 3 …

Agora vamos resolver o problema em t .

Passo 3

Tendo o valor de λ n , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + 2 λ T = 0

Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:

T t = e - 2 λ t

Substituindo λ :

T n t = e - 2 π 2 n 2 t  

Sabendo que u x , t = X x ⋅ T ( t ) , podemos escrever:

u n x , t = sen ⁡ ( n π x ) e - 2 π 2 n 2 t             n = 1,2 , 3 …

Passo 4

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ( n π x ) e - 2 π 2 n 2 t    

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse b n de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:

u x , 0 = 5 sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 sen ⁡ 8 π x + 2 sen ⁡ 10 π x        

Veja que, substituindo t = 0 na série, temos u ( x , 0 ) :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ ( n π x ) ⏟ c n   = 5 sen ⁡ ( 4 π x ) ⏟ + c 4 - 3 sen ⁡ 8 π x ⏟ c 8 + 2 sen ⁡ 10 π x ⏟ c 10      

Bom, se você reparar, aqui não precisamos nem calcular os b n ’s pela integral que dá os coeficientes de Fourier.

Chamando o termo geral da série de c n , vemos que u ( x , 0 ) é a soma de c 2 com c 5 e com c 10 , ou seja, para valores diferentes de n = 4 , n = 8 e n = 10 , os termos da série são nulos. Nós podemos fazer essa comparação porque a u ( x , t ) é função de senos.

Beleza, então temos que:

b 4 sen ⁡ ( 2 π x ) = 5 ∙ sen ⁡ ( 4 π x )           →         b 4 = 5

b 8 sen ⁡ ( 8 π x ) = - 3 ∙ sen ⁡ ( 5 π x )           →         b 8 = - 3

b 10 sen ⁡ ( 10 π x ) = 2 ∙ sen ⁡ ( 10 π x )           →         b 10 = 2

Os outros b n ’s são zero, então a série que procuramos é finita e só possui três termos, com n = 4 , n = 8 e n = 10 . Logo, substituindo n por 4 ,   8 e 10 :

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x e - 2 π 2 n 2 t  

u x , t = b 4 sen ⁡ ( 4 π x ) e - 2 π 2 4 2 t   + b 8 sen ⁡ ( 8 π x ) e - 2 π 2 ( 8 2 ) t + b 10 sen ⁡ ( 10 π x ) e - 2 π 2 ( 10 2 ) t

u x , t = 5 e - 32 π 2 t sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 e - 128 π 2 t sen ⁡ ( 8 π x ) + 2 e - 200 π 2 t sen ⁡ ( 10 π x )

E a letra (e) é a nossa resposta!!

Resposta

e) u x , t = 5 e - 32 π 2 t sen ⁡ ( 4 π x ) - 3 e - 128 π 2 t sen ⁡ ( 8 π x ) + 2 e - 200 π 2 t sen ⁡ ( 10 π x )

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