Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Verifique que as funções u x , t = x e v x , t = x 2 + 2 t satisfazem a equação do calor.

Passo 1

Fala aí galera, tudo bom?

Nessa questão recebemos duas funções da posição, x e do tempo t :

u x , t = x v x , t = x 2 + 2 t

E, precisamos verificar se essas funções são soluções da equação do calor.

Vocês lembram qual é essa equação?

A equação do calor é uma EDP da seguinte forma:

u t - u x x = 0

Então galera, pra saber se essas funções são realmente soluções da equação do calor, vamos substituí-las nessas equações. Para isso, precisaremos calcular os termos:

u t = ∂ u ∂ t u x x = ∂ 2 u ∂ x 2

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar verificando se a função:

u x , t = x

é função da nossa EDP.

Vamos ter:

∂ u ∂ t = ∂ x ∂ t

= 0

E:

u x = ∂ x ∂ x = 1

Derivando mais uma vez:

u x x = ∂ 1 ∂ x = 0

Massa! Daí, substituindo na EDP, vem que:

u t - u x x = 0 - 0

= 0

Excelente!! O lado esquerdo, quando substituímos a função dada, realmente vale zero. Portanto. u x , t = x de fato, é solução da EDP.

Passo 3

Vamos agora analisar o caso de:

v x , t = x 2 + 2 t

Daí, derivando com relação t :

∂ v ∂ t = ∂ x 2 + 2 t ∂ t

= 2

Perfeito! Vamos agora calcular as derivadas parciais com relação a x :

v x = ∂ v ∂ x

= ∂ x 2 + 2 t ∂ x

= 2 x

Daí, derivando mais uma vez com relação a x :

v x x = ∂ 2 x ∂ x

= 2

Massa! Daí, substituído na equação do calor:

v t - v x x = 2 - 2

= 0

Portanto, essa função v x , t = x 2 + 2 t também é solução da equação do calor.

Prontinho galera! Obrigado pela atenção 😊

Resposta

Resposta no texto.

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