Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Encontre a solução u ( x ,   t ) do problema de valor inicial e de contorno :

u t = 3 u x x + u ,     x ∈ 0,4 ,   t ∈ 0 , ∞ , u 0 , t = u 4 , t = 0                                                     t > 0 , u x , 0 = 1 - cos ⁡ π x 2 ,                             x ∈ [ 0,4 ]

Passo 1

Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e, para resolvê-la, temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis. Por esse método, sabe-se:

u = X x T ( t )

Substituindo na equação, teremos:

X x T ' t = 3 X ' ' x T t + X x T t

X x T ' t - X x T t = 3 X ' ' x T ( t )

3 X ' ' x T t = X x [ T ' t - T t ]

X ' ' ( x ) X ( x ) = 1 3 [ T ' t T t - 1 ]

Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de t e o lado direito não depende de x , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real λ .

X ' ' ( x ) X ( x ) = 1 3 T ' t T t - 1 = - λ

Disso, obtemos as duas EDOs

X ' ' x + λ X x = 0 ,

T ' t = 1 - 3 λ T ( t )

Passo 2

Vamos analisar as condições de contorno:

u 0 , t = X 0 T t = 0 u 4 , t = X 4 T t = 0

Como essas igualdades devem valer para todo t no nosso intervalo, temos:

X 0 = X 4 = 0

Passo 3

Como temos uma equação de calor homogênea, sabemos que de cara que só teremos soluções não triviais para Δ < 0 .

X ' ' x + λ X x = 0

Fazendo o polinômio característico:

r 2 + λ = 0

r = - λ = i λ

Nesse caso, só teremos solução não trivial se λ > 0 :

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 s e n ( λ x )

Aplicando valores iniciais:

X 0 = c 1 = 0

X 4 = c 2 s e n ( 4 λ ) = 0

Como não queremos a solução trivial, temos que:

s e n 4 λ = 0

Para isso:

4 λ = n π

λ = n π 4 2

X n x = s e n λ x =   s e n   ( n π x 4 )

Passo 4

Vamos resolver a equação de T que encontramos no passo 1 utilizando o λ encontrado anteriormente.

T ' t = [ 1 - 3 n π 4 2 ]   T ( t )

1 T   d T d t = [ 1 - 3 n π 4 2 ]

∫ 1 T d T =   ∫ [ 1 - 3 n π 4 2 ]   d t

ln ⁡ T =   [ 1 - 3 n π 4 2 ] t

T n t = e 1 - 3 n π 4 2 t    

Com isso, obtemos a seguinte solução:

u n x , t =   s e n   ( n π x 4 ) e 1 - 3 n π 4 2 t  

Passo 5

Vamos utilizar a última condição incial agora:

u x , 0 = 1 - cos ⁡ π x 2

u x , 0 = ∑ n a n s e n   n π x 4 =   1 - cos ⁡ π x 2    

Essa última relação é satisfeita se os coeficientes a n são escolhidos como

a n =   2 4 ∫ 0 4 [ 1 - cos ⁡ π x 2 ] s e n   n π x 4 d x ,

a n = 1 2 ∫ 0 4 s e n   n π x 4 d x - 1 2 ∫ 0 4 cos ⁡ π x 2 s e n n π x 4 d x

Resolvendo a primeira integral, temos que:

1 2 ∫ 0 4 s e n   n π x 4 d x = 2 n π [ 1 - - 1 n ]

Observamos que para n = 2 , isto vale 0.

Para calcular a segunda integral, temos as identidades trigonométricas:

s e n A + B = sen ⁡ A cos ⁡ B + cos ⁡ A sen ⁡ B

s e n n π x 4 cos ⁡ π x 2 =   1 2     s e n n + 2 π x 4 + s e n   n - 2 π x 4

Para integrar isso, separa entre os casos n = 2 e n ≠ 2 . Para n = 2 :

∫ 0 4 cos ⁡ π x 2 s e n π x 2 = 1 2   ∫ 0 4 s e n π x d x

∫ 0 4 cos ⁡ π x 2 s e n π x 2 = -   1 2 π c o s π x 2 4 = 0

Para n ≠ 2 , temos:

1 2 ∫ 0 4 cos ⁡ π x 2 s e n n π x 4 d x =   1 4   ∫ 0 4 s e n n + 2 π x 4 d x +   ∫ 0 4 s e n n - 2 π x 4 d x  

=   - 1 n + 2 π cos ⁡ n + 2 π x 4 | 0 4 + - 1 n + 2 π cos ⁡ n - 2 π x 4 | 0 4

= 1 n + 2 π 1 - - 1 2 + 1 n - 2 π ( 1 - - 1 n )

Logo, podemos concluir que u x , t = ∑ n a n s e n ( n π x 4 ) e 1 - 3 n π 4 2 t é solução para o problema de valor inicial e de contorno se os coeficientes são escolhidos por a 2 = 0 , e para n ≠ 2 .

Resposta

    a n =   1 π 2 π - 1 n + 2 - 1 n - 2 ( 1 - - 1 n )    

a n =   - 8 π n n + 2 n - 2 ( 1 - - 1 n )

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