Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Considere o problema de condução de calor:

( a ) Encontre a solução estacionária do problema.

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

Nós temos a construção usual de um problema de condução de calor em uma barra

em que u ( x , t ) representa a temperatura ao longo do tempo t e ao longo do comprimento da barra x . Essa barra tem extremidades em x = 0 e x = L = 2 , e suas extremidades estão sendo mantidas à temperaturas u ( 0 , t ) = 0 e u ( 2 , t ) = 4 , além disso, sua distribuição de temperatura inicial ao longo da barra é u ( x , 0 ) = 2 x + s e n ( 3 π x 2 ) - s e n ( 7 π x 2 ) .

Para encontrarmos a solução estacionária, vamos procurar uma solução da equação acima que não dependa do tempo, ou seja, estaremos procurando algo como

u ( x , t ) = h ( x )

Isso será a nossa solução estacionária! Ótimo! Vem comigo!

Passo 2

Substituindo em nossa equação diferencial, obtemos que

d 2 h ( x ) d x 2 = 0

em que usando as condições de contorno da barra, nos indica que h ( 0 ) = 0 e h ( 2 ) = 4 , já que em nosso problema, em todo instante de tempo essas são as temperaturas nas extremidades. Resolver esta equação diferencial é bastante direto, precisamos apenas integrar duas vezes, com a primeira integral obtemos a seguinte constante

d h ( x ) d x = A

e, com a segunda integral, temos que

h ( x ) = A x + B

Vamos agora aplicar as condições iniciais para encontrar essas constantes!

Passo 3

Usando que h ( 0 ) = 0 , temos que

h ( 0 ) = 0 = A ( 0 ) + B

portanto, temos que B = 0 . Agora, usando que h ( 2 ) = 4 , com B = 0 , temos

h ( 2 ) = 4 = A ( 2 ) + 0

de forma que A = 2 . A solução estacionária é dada então por

h ( x ) = 2 x

Belezinha! Essa foi a primeira alternativa! Guarde esse resultado que você irá precisar para resolver a alternativa b ) . Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

h ( x ) = 2 x

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