Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Encontre a solução u x , t   do problema

5   u x x = u t     0 < x < 1 ,     t > 0 u 0 , t = 0 ,   u 1 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = s e n 2 π x - s e n 7 π x ,       0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e para resolvê-la temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis.

u = X x T ( t )

Substituindo na equação, teremos:

5   X ' ' x T t = X x T ' t   ↔ X ' ' ( x ) X ( x ) = T ' ( t ) 5 T ( t )

Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de t e o lado direito não depende de x , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real λ .

X ' ' ( x ) X ( x ) = T ' ( t ) 5 T ( t ) =   - λ

Disso, obtemos as duas EDOs:

X ' ' + λ X = 0   T ' + 5 λ T = 0 (1)

Passo 2

Vamos analisar as condições de contorno:

0 = u 0 , t = X 0 T t   ⟹ X 0 = 0

0 = u 1 , t = X 1 T t     ⇒ X 1 = 0

Assim, temos que solucionar o problema de contorno

X ' ' +   λ X = 0     X 0 = 0 ,   X 1 = 0

Passo 3

Conforme a solução fornecida no verso da prova, temos que os autovalores, neste caso, são:

λ = n 2 π 2 ,     n = 1,2 …

e as autofunções associadas com eles são proporcionais com

X n = s e n   n π x ,   n = 1,2 …

Com esses dados, substituímos ao sistema encontrado em (1), temos o problema de valor inicial :

T ' + 5 n 2 π 2 T = 0

Que tem solução geral:

T n t = e - 5 n 2 π 2 t

As soluções fundamentais são u n x , t = e - 5 n 2 π 2 t   s e n   ( n π x ) . Pelo princípio de superposição, a solução geral deste problema é:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ a n e - 5 n 2 π 2 t   s e n ( n π x )

Passo 4

Como u x , t tem que satisfazer a condição inicial s e n   2 π x - s e n 7 π x = u ( x , 0 ) , temos:

s e n   2 π x - s e n   7 π x =   ∑ n = 1 ∞ a n e - 5 n 2 π 2 t   s e n ( n π x )

Segue das relações de ortogonalidade das funções seno que isto só é possível se:

a n =   1 ,     n = 2 - 1 ,     n = 7 0 ,   o u t r o   c a s o

Logo, a solução deste problema é:

u x , t = e - 20 π 2 t s e n 2 π x - e - 245 π 2 t s e n ( 7 π x )

Resposta

u x , t = e - 20 π 2 t s e n 2 π x - e - 245 π 2 t s e n ( 7 π x )

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