Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Resolva o problema de condução de calor em uma barra de comprimento 1 metro e com extremidades isoladas:

u x x = u t ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ,

u x ( 0 , t ) = 0 ,   u x ( 1 , t ) = 0 ,   t > 0 ,

u ( x , 0 ) = x ,   0 < x < 1 .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado nos apresenta um problema de contorno aplicado ao fenômeno de condução de calor em uma barra. O problema de contorno é composto por uma equação diferencial da forma

u x x = u t ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ,           ( 1 )

O fato das extremidades da barra serem isoladas estão representadas pelas condições de contorno

u x ( 0 , t ) = 0 ,   u x ( 1 , t ) = 0 ,   t > 0 ,           ( 2 )

E, o enunciado também nos dá uma condição inicial sobre o sistema, que será necessário para que obtenhamos a solução final

u ( x , 0 ) = x ,   0 < x < 1 .           ( 3 )

Para resolver este tipo de problemas iremos utilizar o método de separação de variáveis, onde nós iremos propor a seguinte solução para o nosso sistema

u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )           ( 4 )

e, iremos calcular as funções X ( x ) e T ( t ) adequadas para o sistema descrito! Bora bora que temos bastante trabalho pela frente! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da equação (4) para que possamos utilizá-las na equação (1), temos que

u x x = ∂ 2 ∂ x 2 ( X ( x ) T ( t ) ) = X ' ' ( x ) T ( t )

e, da mesma forma, temos que

u t = ∂ ∂ t ( X ( x ) T ( t ) ) = X ( x ) T ' ( t )

Substituindo ambos os resultados na equação (1) temos que

X ' ' ( x ) T ( t ) = X ( x ) T ' ( t )

Podemos separar as variáveis em cada lado da igualdade, da seguinte maneira

X ' ' ( x ) X ( x ) = T ' ( t ) T ( t )           ( 5 )

Esta separação ser possível é bastante conveniente pois temos que como cada lado depende de uma variável independente, a única solução possível é que ambos os lados da equação sejam iguais à uma mesma constante! Isso irá reduzir o nosso problema a duas equações diferenciais ordinárias homogêneas! Consegue visualizar? Bora lá!

Passo 3

Da equação (5), temos que

X ' ' ( x ) X ( x ) = λ = T ' ( t ) T ( t )

Começando pelo lado esquerdo da equação acima, temos que

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0

Esta é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea, normalmente, precisaríamos resolver o polinômio característico associado e encontrar as raízes associadas a diferentes possibilidades em λ . No entanto, problemas de contorno com extremidades isoladas apenas apresentam uma solução não trivial para a escolha λ < 0 . O polinômio característico é da forma

r 2 + | λ | = 0

De forma que temos raízes da forma

r = ± i | λ |

E uma solução que toma o formato

X ( x ) = C 1 s e n ( λ x ) + C 2 c o s ( λ x )           ( 6 )

Vamos avaliar as condições de contorno e delimitar os coeficientes constantes na equação (6)! Vem comigo!

Passo 4

A equação (2) nos indica que

u x ( 0 , t ) = 0 ,   u x ( 1 , t ) = 0

Como temos que u x ( x , t ) = X ' ( x ) T ( t ) , temos que as condições iniciais resultam em

X ' ( 0 ) T ( t ) = 0 ,   X ' ( 1 ) T ( t ) = 0

Como escolher T ( t ) = 0 nos leva a solução trivial, temos que X ' ( 0 ) = X ' ( 1 ) = 0 . Vamos aplicar estas condições iniciais sobre a equação (6). Da equação (6) obtemos que

X ' ( x ) = C 1 λ c o s ( λ x ) - C 2 λ s e n ( λ x )

da condição X ' ( 0 ) = 0 , temos que

0 = C 1 λ

Ou seja, temos que C 1 = 0 . Da mesma forma, temos da condição X ' ( 1 ) = 0 , que

0 = C 1 λ c o s ( λ ) - C 2 λ s e n ( λ ) = - C 2 λ s e n ( λ )

Evitando a escolha C 2 = 0 pois isso levaria a solução trivial, temos que a única solução possível é λ = n π , ou λ = n 2 π 2 . Portanto, a nossa solução pode ser escrita como

X n ( x ) = C n c o s ( n π x )           ( 7 )

Ainda precisamos estimar nossa função T ( t ) , vamos fazer isso!

Passo 5

Analogamente ao que fizemos para X ( x ) , temos que a equação (5) nos leva à

T ' ( t ) T ( t ) = λ

Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, saca só o que podemos fazer

1 T ( t ) d T ( t ) d t = λ

Se multiplicarmos ambos os lados por d t , temos que

1 T ( t ) d T ( t ) = λ d t

Integrando em ambos os lados obtemos que

l n ( T ( t ) ) = λ t + C

Ou, aplicando a função exponencial em ambos os lados temos que

T ( t ) = K e λ t

Utilizando o valor de λ = n 2 π 2 que obtivemos durante a resolução de X ( x ) , podemos escrever que

T n ( t ) = K n e n 2 π 2 t           ( 8 )

Vamos escrever a solução geral do nosso problema agora! Saca só!

Passo 6

Podemos utilizar a equação (8) e (7) dentro da equação (4) para escrever que

u n ( x , t ) = A n c o s ( n π x ) e n 2 π 2 t

E pelo princípio da superposição, podemos garantir que a combinação linear destas soluções é a solução mais geral possível, temos então que

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ A n c o s ( n π x ) e n 2 π 2 t = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n π x ) e n 2 π 2 t           ( 9 )

Se avaliarmos a condição inicial

u ( x , 0 ) = x

Temos que

x = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n π x ) e 0 = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n c o s ( n π x )

Ou seja, podemos identificar A 0 e A n como os coeficientes de uma série de Fourier! Vamos utilizar estas definições e calcular a nossa solução!

Passo 7

Os coeficientes podem ser calculados usando que

A 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

e que

A n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

Note que temos que L = 1 e f ( x ) = x , portanto, podemos calcular os coeficientes como

A 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = ∫ - 1 1 x d x

e para o outro coeficiente temos que

A n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = ∫ - 1 1 x c o s ( n π x ) d x

Note no entanto, que x é uma função ímpar, portanto, integrá-la em um intervalo simétrico nos leva à um resultado nulo. Analogamente, como o cosseno é uma função par, temos que uma função ímpar vezes uma função par resulta em uma função ímpar, e portanto, a integração em limites simétricos também se anula. Desta maneira, podemos argumentar que

A 0 = A n = 0

e a nossa solução geral é então a solução trivial

u ( x , t ) = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

u ( x , t ) = 0

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