Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

UFRJ, Cálculo 4, P2 2013.2, Questão 4

Considerando α e L como sendo constantes positivas e g ( x ) como sendo uma função contínua no intervalo ( 0 ,   L ) , encontre a solução do problema abaixo usando o método de separação de variáveis. Justifique cada passo.

u t t = α 2 u x x u 0 , t = 0 = u x L , t ,           t > 0 u x , 0 = g x ,         0 < x < L u t x , 0 = 0 ,               0 < x < L

Passo 1

Vamos começar, como sempre, pela separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na equação de onda, temos:

a 2 X ' ' x . T t = X x . T ' ' ( t )

Passando tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, temos:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

X ' ' x X x = 1 a 2 T ' ' t T t = - λ

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ a 2 T t = 0

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0                 X 0 . T t 0 = 0                 X 0 = 0

u x L , t = 0                 X ' L . T t 0 = 0                 X ' L = 0

Temos também

u t x , 0 = 0             X x 0 . T ' 0 = 0             T ' 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, u x , 0 = g ( x ) , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar X ( x ) e T ( t ) , para encontrar u x , t = X x . T ( t ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em x :

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X ' L = 0

Para resolver essa EDO de segunda ordem temos que primeiro montar a equação característica que fica.

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Agora temos que testar cada caso do problema de valor de contorno.

Caso Δ > 0 :

Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Calculando X ' ( x )

X ' ( x ) = c 1 - λ e - λ x - c 2 - λ e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

c 1 = - c 2

X ' L = c 1 - λ e L - λ + c 1 - λ e - L - λ = 0

Isso nos dá

c 1 - λ ( e π - λ + e - π - λ 0 ) = 0

Como o que está dentro dos parênteses é diferente de zero, temos:

c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso Δ = 0

Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0

X 0 = c 1 = 0

X ' L = c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada ¬¬ Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso Δ < 0

Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α x cos β x + c 2 e α x sen β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos λ x + c 2 sen λ x

Calculando X ' ( x )

X ' x = - c 1 λ sen λ x + c 2 λ cos λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X ' L = 0

X 0 = c 1 cos 0 + c 2 sen 0 = 0

c 1 = 0

X ' L = c 2 λ cos L λ = 0

Com isso ou teremos c 2 = 0 , que nos dá outra solução trivial ou cos L λ = 0 . Como não queremos soluções triviais vamos ter.

X n x = sen 2 n π - π 2 L x

Onde

λ n = 2 n π - π 2 L 2

Certo, agora vamos resolver o problema em t .

Passo 3

Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO

T ' ' t + λ a 2 T t = 0 T ' 0 = 0

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior) e a é um coeficiente dado, não precisamos analisar os 3 casos de , olha só:

r 2 + λ a 2 = 0

r = ± - λ a 2 > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i λ a 2

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos λ a 2 t + c 2 sen λ a 2 t

Usando T ' 0 = 0 , temos:

T ' t = - c 1 λ a 2 sen λ a 2 t + c 2 λ a 2 cos λ a 2 t

T 0 = c 2 λ a 2 0 = 0             c 2 = 0

Fazendo

λ n = 2 n π - π 2 L 2

Temos então:

T n t = cos 2 n π a t - π a t 2 L

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , t = sen 2 n π x - π x 2 L cos 2 n π a t - π a t 2 L

Passo 4

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfaz o problema, então vamos escrever:

u x , t = n = 1 b n sen 2 n π x - π x 2 L cos 2 n π a t - π a t 2 L  

Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de u n ’s.

Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: u x , 0 = g ( x ) . Fazendo t = 0 , temos:

u x , 0 = n = 1 b n sen 2 n π x - π x 2 L = g ( x )

Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de g ( x ) , podemos dizer que:

b n = 2 L 0 L g x sen 2 n π x - π x 2 L d x

Resposta

u x , t = n = 1 b n sen 2 n π x - π x 2 L cos 2 n π a t - π a t 2 L  

Onde

b n = 2 L 0 L g x sen 2 n π x - π x 2 L d x

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