Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Determine a solução u x , t do problema

u t t x , t = u x x x , t , x ∈ 0 , π ,   t ∈ 0 , ∞ u x 0 , t = u x π , t = 0 , t ∈ 0 , ∞ u x , 0 = 0 , x ∈ 0 , π u t x , 0 = x π - x , x ∈ 0 , π

Passo 1

a)

A primeira coisa que temos que fazer é achar a solução do problema

u x x x , t = u t t x , t x ∈ 0 , π , t ∈ 0 , ∞ u x 0 , t = u x π , t = 0 t ∈ 0 , ∞ u t x , 0 = x ( π - x ) x ∈ 0 , π u x , 0 = 0                                                                                   x ∈ 0 , π

Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então

u x , t = X x T t

Substituindo na EDP temos

X ' ' x T t - X x T ' ' t = 0

Agora vamos passar tudo com x para um lado e o que tem t no outro

X ' ' x X x = T ' ' t T t = λ

Essa igualdade vale para todo x e para todo t , assim λ precisa ser uma constante. Podemos separar isso em duas equações

X ' ' - λ X = 0

T ' ' - λ T = 0

Agora vamos ver as condições do problema,

u x 0 , t = 0 → T ( t ) ⏟ ≠ 0 X ' 0 = 0 → X ' 0 = 0

u x π , t = 0 → T t ⏟ ≠ 0 X ' 1 π = 0 → X ' π = 0

u x , 0 = 0 → T 0 X x ⏟ ≠ 0 = 0 → T 0 = 0

Então temos

X ' ' - λ X = 0 X ' 0 = X ' π = 0 T ' ' - λ T = 0 T 0 = 0

Passo 2

Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser

X ' ' - λ X = 0 X ' 0 = X ' π = 0

Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.

Isso nos diz que temos a seguinte equação característica

r 2 - λ = 0

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X ( x ) = c 1 e λ x + c 2 e - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X ' 0 = 0 X ' π = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de X ( x )

X ' x = c 1 λ e λ x - c 2 λ e - λ x

Assim temos

X ' 0 = c 1 λ - c 2 λ = 0

X ' π = c 1 λ e λ π - c 2 λ e - λ π = 0

Isso nos dá

c 2 = c 1

Substituindo na segunda equação

c 1 λ e λ π - c 1 λ e - λ π = 0

c 1 ( λ e λ π - λ e - λ π ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

E

c 2 = c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X ( x ) = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X ( x ) = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno:   X ' 0 = 0 X ' π = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de X ( x )

X ' x = c 2

Assim temos

c 2 = 0

E a nossa solução vai ser

X ( x ) = c 1

Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

Y y = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± λ = 0 ± i - λ

Y y = c 1 cos ⁡ - λ x + c 2 sen ⁡ - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno:   X ' 0 = 0 X ' π = 0 , para isso primeiro vamos achar a derivada de X ( x )

X ' x = - c 1 - λ sen ⁡ - λ x + c 2 - λ cos ⁡ - λ x

Assim vamos ter

- c 1 - λ sen ⁡ λ 0 + c 2 - λ cos ⁡ λ 0 = 0

c 2 λ = 0

E

- c 1 - λ sen ⁡ - λ π + c 2 - λ cos ⁡ - λ π = 0

Assim vamos ter, pela primeira equação, como λ ≠ 0

c 2 = 0

Assim temos

- c 1 - λ sen ⁡ - λ π = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 1 = 0 , a solução é a trivial X ( x ) = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ - λ π = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

- λ = n             n = 1,2 , 3 …

- λ = n

- λ n = n 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = cos ⁡ n x                 n = 1,2 , 3 …

Passo 3

Tendo os valores de λ n , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em x , temos:

T ' ' - λ T = 0 T 0 = 0

Substituindo o valor de λ n , temos:

T n ' ' + n 2 T n = 0 T n 0 = 0

Assim, temos que:

T n t = b n sen ⁡ n t

Passo 4

Vamos juntar as soluções de X e T para termos as soluções de u x , t , vamos juntar todas as constantes e chamar de c 0 ou c n , assim vamos ter

u 0 x , t = b 0 2 t n = 0 u n x , y = b n cos ⁡ n x sen ⁡ ( n t ) n = 1,2 , 3 , …

Passo 5

Vamos escrever a solução do nosso problema como a combinação linear das u n , temos que

u x , t = b 0 2 t + ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n x sen ⁡ ( n t )

Vamos usar a última condição que ele deu para ver o que temos. Assim vamos ter

u t x , 0 = f x

Calculando a derivada em t de u

u t x , 0 = b 0 2 + ∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n x

Assim temos

f x = b 0 2 + ∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n x

Opa, precisamos achar esse b 0 e esse b n ! Como vamos fazer isso? Temos que usar a série de Fourier. Tá vendo que a expressão acima é igualzinha a série de Fourier em cossenos da f ( x ) ? Então, os coeficientes vão ser calculados por

b 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

n b n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n x d x

Lembra que nosso L = π , então

b 0 = 2 π ∫ 0 π x π - x d x = π 2 3

n b n = 2 π ∫ 0 π x π - x cos ⁡ n x d x = - 2 n 2 ( - 1 n + 1 )

Então se n   for impar - 1 n = - 1 e assim o b n vai para 0.

Se n for par, - 1 n = 1 e temos que b n = - 4 n 3 .

Assim, nossa solução é

u x , t = π 2 6 t - ∑ k = 1 ∞ 1 2 k 3 cos ⁡ ( 2 k x ) sin ⁡ ( 2 k t )

Resposta

u x , t = π 2 6 t - ∑ k = 1 ∞ 1 2 k 3 cos ⁡ ( 2 k x ) sin ⁡ ( 2 k t )

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