Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

Ver Teoria

Enunciado

Utilize a identidade c o s β s e n α = 1 2 [ s e n α + β + s e n α - β ] para escrever u como superposição de ondas viajando à esquerda e à direita com velocidade c .

Passo 1

E aí gente, tudo bom?

Nessa questão, vimos no item anterior que a função:

u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x )

É solução da equação da onda, dada por:

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u

Agora o enunciado nos pede pra manipular matematicamente a função u ( x , t ) pra chegar que ela pode ser escrita como a superposição de ondas viajando em sentidos opostos, com velocidade c .

Para isso, nos é dada a seguinte equação trigonométrica:

c o s β s e n α = 1 2 [ s e n α + β + s e n α - β ]

Show de bola!

Vamos usar essa igualdade para reescrever u e a partir disso interpretar o resultado encontrado.

Passo 2

Bom, vimos que:

u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x )

Daí, como queremos usar a igualdade:

c o s β s e n α = 1 2 [ s e n α + β + s e n α - β ]

Vamos chamar:

β = λ c t α = λ x

Daí:

cos ⁡ λ c t s e n λ x

= 1 2 s e n λ c t + λ x + s e n λ x - λ c t

Colocando λ em evidência dentro do argumento da função, temos:

u x , t =   1 2 s e n λ ( x + c t ) + s e n λ ( x - c t )

Olha que legal! Conseguimos escrever u como a soma de duas funções:

u 1 x , t = 1 2 s e n ( λ x + c t )

u 2 x , t = 1 2 s e n λ x - c t

Essas funções representam justamente ondas caminhantes onde o termo que multiplicar o tempo t é a velocidade.

Assim, em u 1 temos a velocidade igual a + c , enquanto em u 2 a velocidade vale - c , indicando que a onda se movimenta em sentido oposto à primeira.

E aí, conseguiram entender?

Tamo junto pessoal até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Os Problemas 19 e 20 indicam como é possível mostrar que a solução formal (20), (22) das Eqs. (1), (3) e (9) é, de fato, a solução desse problema.19- Usando a identidade trigonométrica s e nAc o sB=½
Seja h ( ξ ) o deslocamento inicial em [ 0 ,L ] estendido a ( - L ,0 ) como uma função ímpar e estendido ao resto da reta como uma função periódica de período 2 L . Supondo a continuidade de h e suas
Combinando os resultados dos Problemas 16 e 17, mostre que a solução do problemaé dada por
O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação de onda bidimensional em coordenadas polaresSupondo que u ( r ,θ ,t )=R r Θ ( θ ) T ( t ) , enco
Considere a equação de onda a 2 u x x = u t t em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciaisUsando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre queUse a primeira das equações no