Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

Ver Teoria

Enunciado

Mostre como se chega à solução do seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis i.e. assumindo y x , t = X x T t e justificando detalhadamente TODA a análise:

y t t = 9 y x x y 0 , t = y 3 , t = 0 y x , 0 = 5 sen ⁡ 2 π x 3 + 13 sen ⁡ 7 π x 3           y t x , 0 = 0

Passo 1

Então pessoal, essa é uma questão clássica de aplicação do método de separação de variáveis.

A solução é um pouco longa, mas vamos juntos entender isso passo a passo. Ele pediu só pra “mostrar” como se chega à solução. Mas vamos resolver quase totalmente para evitar dúvidas.

A primeira coisa a fazer é usar a informação que o próprio enunciado deu, ou seja, usar uma solução com essa forma geral aqui:

y x , t = X x T t

E logo substituir na equação:

y t t = 9 y x x

Isso é a mesma coisa que:

∂ 2 ∂ t 2 y x , t = 9 ∂ 2 ∂ x 2 y x , t

Então:

∂ 2 ∂ t 2 X x T t = 9 ∂ 2 ∂ x 2 X x T t

Ok. Agora pense o seguinte. Quando a gente deriva em relação a t , aquele fator X x funciona como uma constante, então a gente pode colocar ele “para fora” da derivada:

X x ∂ 2 ∂ t 2 T t = 9 ∂ 2 ∂ x 2 X x T t

E a mesma coisa acontece do lado direito, onde estamos derivando em relação a x . Nesse caso, o T t funciona como constante e pode ser colocado pra fora:

X x ∂ 2 ∂ t 2 T t = 9 T t ∂ 2 ∂ x 2 X x

Para facilitar a vida, vamos usar essa notação aqui:

∂ 2 ∂ t 2 T t = T ' ' t

∂ 2 ∂ x 2 X x = X ' ' x

Então nossa equação é:

X x T ' ' t = 9 T t X ' ' x

Ok, o primeiro passo já foi.

Passo 2

Agora a gente vai introduzir uma constante. Mas por quê?

Bom, olha o que acontece se a gente reorganizar um pouco a equação:

X x T ' ' t = 9 T t X ' ' x

1 9 T ' ' t T t = X ' ' x X x

Ficamos com um lado que depende de t , e um lado que depende de x .

A única forma de esses dois lados, que depende de variáveis diferentes, serem sempre iguais, é se os dois lados forem iguais a uma mesma constante:

1 9 T ' ' t T t = X ' ' x X x = - λ

Pode parecer meio aleatório usar – λ , mas acredite, vai ser útil mais tarde.

Agora ficamos com duas equações separadas (entendeu o porquê do nome do método?), uma para cada variável:

T ' ' t = - 9 λ T t

X ' ' t = - λ X x

Passo 3

Vamos separar também as condições iniciais que o enunciado deu. Por exemplo, ele disse que:

y 0 , t = 0

Isso quer dizer que:

y 0 , t = X 0 T t = 0

Essa equação só tem duas soluções, ou X 0 = 0 ou T t = 0 . Mas se T t = 0 , então a nossa solução toda se anularia em todos os instantes de tempo t , então ficamos com a outra alternativa:

X 0 = 0

A outra condição inicial é:

y 3 , t = 0

y 3 , t = X 3 T t = 0

E pela mesma lógica, a única conclusão razoável aqui é:

X 3 = 0

Beleza, já achamos duas condições iniciais para a equação que depende de x .

Outra condição inicial do enunciado é y t x , 0 = 0 :

y t x , t = d d t X x T t = X x T ' t

Então:

y t x , 0 = X x T ' 0 = 0

Mais uma vez, a única conclusão possível aqui (que não anula a nossa solução inteira) é:

T ' 0 = 0

Tá, então vamos juntar tudo isso que a gente descobriu em dois sisteminhas. Um com as coisas que dependem de x , e outro com as coisas que dependem de t :

X ' ' x = - λ X x X 0 = X 3 = 0                     T ' ' t = - 9 λ T t T ' 0 = 0

Ok, agora vamos resolver cada um deles separadamente.

Passo 4

Começando pelas equações que dependem de x :

X ' ' x = - λ X x

Aqui existem duas possibilidades: λ positivo ou negativo.

Se λ é positivo, vamos escrever λ = μ 2 (é só uma constante qualquer, com o quadrado pra garantir que seja positiva), e então:

X ' ' x = - μ 2 X x

X ' ' x + μ 2 X x = 0

E essa é a equação de um oscilador harmônico. Lembra dela? É qualquer equação que tenha essa forma aqui:

y ' ' x + ω 2 y x = 0

E a solução geral é:

y x = A cos ⁡ ω x + B sen ⁡ ω x

No nosso caso ω 2 = μ , ou ω = μ , então a solução geral é:

X x = A cos ⁡ μ x + B sen ⁡ μ x

Agora vamos aplicar as condições iniciais. Começando por X 0 = 0 :

X 0 = A cos ⁡ μ 0 + B sen ⁡ μ 0 = 0

Como cos ⁡ 0 = 1 e sen ⁡ 0 = 0 :

X 0 = A = 0

Ok, e a outra condição diz que X 3 = 0 , então:

X 3 = A cos ⁡ μ 3 + B sen ⁡ μ 3 = 0

A cos ⁡ 3 μ + B sen ⁡ 3 μ = 0

A gente já viu que A = 0 , então:

B sen ⁡ 3 μ = 0

Tá, e quais são as soluções possíveis pra isso? Bom, se B for zero também, aí a nossa solução fica totalmente nula, isso não serve.

O outro caminho é esse seno se anular. Para que isso aconteça, essa condição aqui tem que ser satisfeita:

sen ⁡ 3 μ = sen ⁡ n π = 0

μ = n π 3

Porque qualquer múltiplo inteiro de π tem seno zero!

Então, finalmente, a nossa solução X x fica assim:

X x = A cos ⁡ n π 3 x + B sen ⁡ n π 3 x

X x = B sen ⁡ n π 3 x

Essa constante B vai ficar arbitrária mesmo. Mas olha só, apareceu uma definição para o nosso λ :

λ = μ 2 = n 2 π 2 9

Tá, agora vamos ver o que acontece quando λ é negativo ou nulo.

Passo 5

Se λ é negativo, a gente pode escrever o λ assim:

λ = - μ 2

Então a nossa equação fica:

X ' ' x = - λ X x

X ' ' x = μ 2 X x

Essa equação aí tem uma solução exponencial. E a solução geral é:

X ' ' x = A e μ x + B e - μ x

Percebeu o motivo? Se você derivar essa função duas vezes, a constante μ vai cair duas vezes seguidas, e vai aparecer ao quadrado ao lado da própria função.

Então beleza, vamos tentar aplicar as condições iniciais nessa X x :

X 0 = 0         ⇒           A e μ 0 + B e - μ 0 = 0

Como e 0 = 1 :

A + B = 0

E a outra condição é X 3 = 0 :

X 3 = 0         ⇒           A e 3 μ + B e - 3 μ = 0

Tá, então temos essas duas equações aqui:

A + B = 0 A e 3 μ + B e - 3 μ

Pela primeira equação, a gente sabe que A = - B . Substituindo isso na segunda:

- B e 3 μ + B e - 3 μ = 0

B e - 3 μ - e 3 μ = 0

Agora surge um problema, as únicas duas soluções para essa equação aí são:

B = 0           o u           e - 3 μ - e 3 μ = 0

A segunda solução é impossível! A única forma de aquelas exponenciais se igualarem é se μ = 0 :

e - 3 μ - e 3 μ = 0

e - 3 μ = e 3 μ

- 3 μ = 3 μ         ⇒         - μ = μ         ⇒           μ = 0

Mas isso faria a nossa solução X x ser nula em todos os pontos, então não serve.

E se B = 0 ? Bom, mas A = - B , então isso também faria a solução ser nula em todos os pontos!

Qual é a conclusão aqui? Não temos nenhuma solução para λ < 0 .

Tá, mas e se λ = 0 ? Bom, aí acontece o seguinte:

X ' ' x = - λ X x

X ' ' x = 0

Integrando isso uma vez, aparece uma constante:

X ' x = A

Integrando de novo, aparece um x e uma nova constante:

X x = A x + B

Mas aí as condições iniciais vão dar problemas de novo!

X 0 = 0           ⇒         X 0 = A 0 + B = 0         ⇒           B = 0

X 3 = 0         ⇒           X 3 = A 3 + 0 = 0         ⇒           A = 0

Mais uma solução nula! Então vamos só ficar com o caso λ > 0 mesmo, que tinha dado essa solução aqui (só pra lembrar):

X x = B sen ⁡ n π 3 x

Passo 6

Ainda não acabou! Falta olhar para a equação que depende de t :

T ' ' t = - 9 λ T t T ' 0 = 0

Mas agora a gente já sabe (lá do final do passo 4) que:

λ = n 2 π 2 9

Então:

T ' ' t = - 9 n 2 π 2 9 T t

T ' ' t + n 2 π 2   T t = 0

Mais uma vez ficamos com uma equação de oscilador harmônico! E a solução geral, como vimos antes:

T t = C cos ⁡ n π t + D sen ⁡ n π t

E a condição inicial que a gente tem aqui é T ' t = 0 . Então vamos derivar:

T ' t = - n π C sen ⁡ n π t + n π D cos ⁡ n π t

Lembrando que a derivada de cos ⁡ t é - sen ⁡ t e a derivada de sen ⁡ t é cos ⁡ t .

Quando t = 0 , a situação é a seguinte:

T ' 0 = - n π C sen ⁡ n π 0 + n π D cos ⁡ n π 0 = 0

Como cos ⁡ 0 = 1 e sen ⁡ 0 = 0 :

n π D = 0

E a única solução é D = 0 , então o termo com D vai sumir da nossa solução, e só sobra:

T t = C cos ⁡ n π t

Passo 7

Ótimo, então só pra resumir o que a gente tem até aqui:

T t = C cos ⁡ n π t

X x = B sen ⁡ n π 3 x

Então nossa solução geral para y x , t fica assim:

y x , t = X x T t = C cos ⁡ n π t B sen ⁡ n π 3 x

Vamos juntar essas duas constantes em uma única constante A n :

y x , t = A n cos ⁡ n π t sen ⁡ n π 3 x

E a solução do sistema inclui todos os valores de n , então vamos somar:

y x , t = ∑ n = 1 ∞   A n cos ⁡ n π t sen ⁡ n π 3 x

Tá, mas ainda não acabou. Tem mais uma condição ali no sistema:

y x , 0 = 5 sen ⁡ 2 π x 3 + 13 sen ⁡ 7 π x 3

Vamos calcular y x , 0 substituindo na nossa solução geral e fazendo cos ⁡ 0 = 1 :

y x , 0 = ∑ n = 1 ∞   A n cos ⁡ n π 0 sen ⁡ n π 3 x = ∑ n = 1 ∞   A n sen ⁡ n π 3 x

Então:

∑ n = 1 ∞   A n sen ⁡ n π 3 x = 5 sen ⁡ 2 π x 3 + 13 sen ⁡ 7 π x 3

Aqui a gente pode só deixar indicado, já que o enunciado pediu pra “mostrar como se chega à solução”.

A ideia aqui seria que esses somatório aí é a série de Fourier dessa função que o enunciado deu.

Então a gente poderia usar a fórmula dos coeficientes de Fourier para encontrar A n :

∑ n = 1 ∞   c n sen ⁡ n π x L = f x         ⇒           c n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L   d x

Como no nosso caso L = 3 e f x é aquela função que aparece no enunciado, a fórmula dos coeficientes A n é:

A n = 2 3 ∫ 0 3 5 sen ⁡ 2 π x 3 + 13 sen ⁡ 7 π x 3 sen ⁡ n π x 3   d x

Passo 8

Beleza, agora é só juntar tudo.

A gente conclui que a solução do problema de valor de contorno é:

y x , t = ∑ n = 1 ∞   A n cos ⁡ n π t sen ⁡ n π 3 x

Onde as constantes A n são dadas por:

A n = 2 3 ∫ 0 3 5 sen ⁡ 2 π x 3 + 13 sen ⁡ 7 π x 3 sen ⁡ n π x 3   d x

Pronto! Foi um longo caminho, mas conseguimos.

Resposta

A solução é y x , t = ∑ n = 1 ∞   A n cos ⁡ n π t sen ⁡ n π 3 x , onde as constante A n são dadas por 2 3 ∫ 0 3 5 sen ⁡ 2 π x 3 + 13 sen ⁡ 7 π x 3 sen ⁡ n π x 3   d x

Exercícios de Livros Relacionados

Os Problemas 19 e 20 indicam como é possível mostrar que a solução formal (20), (22) das Eqs. (1), (3) e (9) é, de fato, a solução desse problema.19- Usando a identidade trigonométrica s e nAc o sB=½
Seja h ( ξ ) o deslocamento inicial em [ 0 ,L ] estendido a ( - L ,0 ) como uma função ímpar e estendido ao resto da reta como uma função periódica de período 2 L . Supondo a continuidade de h e suas
Combinando os resultados dos Problemas 16 e 17, mostre que a solução do problemaé dada por
O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação de onda bidimensional em coordenadas polaresSupondo que u ( r ,θ ,t )=R r Θ ( θ ) T ( t ) , enco
Considere a equação de onda a 2 u x x = u t t em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciaisUsando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre queUse a primeira das equações no