Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

a) f x = x L - x ,       g x = 0 .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos o famoso problema de valor inicial da equação de onda, incluindo as condições de fronteira. Queremos resolvê-lo quando:

f x = x L - x

g x = 0

Vamos usar o método da separação de variáveis para primeiro desenvolver uma solução geral em função de f ( x ) e g ( x ) , e no final substituímos f ( x ) e g ( x ) pelo dado no enunciado para particularizar a nossa solução, beleza?

Esse tipo de questão dá um trabalhinho, mas vale muito a pena! Então vem comigo que vai ficar tudo claro 😊

Passo 2

Bom, pelo método de separação das variáveis, temos:

u x , t = p x ⋅ q ( t )

Daí:

u t t = q ' ' t p ( x )

u x x = p ' ' x q ( t )

Daí, substituindo na equação de onda:

p x ⋅ q ' ' x - c 2 p ' ' x ⋅ q t = 0

Logo:

q ' ' ( t ) c 2 q t = p ' ' x p x = λ

Daí:

q ' ' t - λ c 2 g t = 0

e:

p ' ' x - λ p x = 0 p 0 = p L = 0   ( c o n d i ç õ e s   d e   c o n t o r n o )

Logo, os auto-valores e as auto-funções (que não nos entregam apenas a solução trivial) valem:

λ n =   - n 2 π 2 L 2 ,     n = 1,2 , 3 , …

e:

p n x = s e n n π x L ,     n = 1,2 , 3 , …

Voltando à EDO em g ( t ) , vem:

g n t = A n cos ⁡ n π c t L + B n s e n n π c t L ,         n = 1,2 , 3 , …

Logo, a solução formal da EDP vale:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ n π c t L + B n s e n n π c t L s e n n π x L

Onde, pelas condições de contorno, vamos ter:

A n = 2 L ⋅ ∫ 0 L f x s e n n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 , …

B n = 2 n π c ⋅ ∫ 0 L g x s e n n π x L d x ,     n = 1,2 , 3 , …

Excelente! Já encontramos a nossa solução 😉

Passo 3

Vamos então substituir os valores de f ( x ) e de g ( x ) :

f x = x L - x

g x = 0

Logo, a nossa solução se resume a:

B n = 2 n π c ⋅ ∫ 0 L g x s e n n π x L d x = 0

Então:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ n π c t L s e n n π x L

Onde:

A n = 2 L ⋅ ∫ 0 L x ( L - x ) s e n n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 , …

Beleza! Então nossa missão agora se resume a resolver a integral acima!

Abrindo um pouco essa expressão, temos:

A n = 2 ∫ 0 L x s e n n π x L d x - 2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x

Show de bola! Então precisamos resolver essas duas integrais!

Vamos começar por:

∫ 0 L x s e n n π x L d x

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ 0 L x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + L n π ⋅ ∫ 0 L cos ⁡ n π x L d x

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L 0 L

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π  

Daí, vamos analisar. Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Ficamos só com o primeiro termo:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π

Daí, quando tivermos:

cos ⁡ n π = - 1 ,     n   í m p a r cos ⁡ n x = 1 ,     n   p a r

Podemos escrever:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π = - L 2 n π ⋅ - 1 n

= - 1 n + 1 L 2 n π

Então, substituindo no termo dessa integral em A n , vem:

2 ∫ 0 L x s e n n π x L d x = - 1 n + 1 2 L 2 n π

Perfeito!

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x

Para resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Vamo dar uma revisada:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

No caso da nossa integral, vamos chamar:

u = x 2 d v =   s e n n π x L

Assim:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x

O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:

u = x d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = x L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - L n π ⋅ ∫ 0 L s e n n π x L d x

= L 2 n π ⋅ s e n n π - L n π ⋅ L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L

Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Assim:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = 0 + L 2 n 2 π 2 ⋅ c o s ⁡ ( n π ) - L 2 n 2 π 2

Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

=   - L 3 n π ⋅ cos ⁡ n π + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

Como:

cos ⁡ n π = 1 ⇔ n   p a r cos ⁡ n π = - 1 ⇔ n   í m p a r

Então,

- Se n   par:

cos ⁡ n π - 1 = 0

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = - L 3 n π

- Se n ímpar:

cos ⁡ n π - 1 = - 2

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = L 3 n π 1 - 4 n 2 π 2

Perfeito!

Logo, para o coeficiente para o termo relacionado a essa integral em A n , vamos ter:

- n par:

2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x =   - 2 L 2 n π

- n ímpar:

2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2  

Daí, juntando esses dois termos em A n , vamos ter:

A n = 2 ∫ 0 L x s e n n π x L d x - 2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x

- n par:

A n =   - 2 L 2 n π - - 2 L 2 n π = 0

- n ímpar:

A n = 2 L 2 n π - 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2

∴ A n = 8 L 2 n 3 π 3

Passo 5

Daí, finalmente voltando à nossa solução formal, vamos ter:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ n π c t L s e n n π x L

onde:

A n = 8 L 2 2 n - 1 3 π 3 ,     n = 1,2 , 3 , …

Portanto:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ 8 L 2 2 n - 1 3 π 3 cos ⁡ n π c t L s e n n π x L

Agora vamos apenas determinar a amplitude dos dois primeiros harmônicos.

Tomando n = 1 , temos:

A 1 = 8 L 2 π 3

E, tomando n = 2 , temos:

8 L 2 27 π 3

Prontinho galera!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ 8 L 2 2 n - 1 3 π 3 cos ⁡ n π c t L s e n n π x L

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