Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

Ver Teoria

Enunciado

Dado o seguinte problema de oscilação numa corda infinita:

u t t = 16 u x x ,         - ∞ < x , t < ∞ u x , 0 = 2 1 + x 2 ,         - ∞ < x < ∞ u t x , 0 = - 8 x 1 + x 2 2 ,         - ∞ < x < ∞

Qual a forma da corda e sua velocidade de deformação quando t = 1 ? Qual é a velocidade para a qual se deslocam as deformações da corda?

Passo 1

Vamos aplicar o método de D’Alembert. A fórmula é:

u x , t = 1 2 u 0 x - c t + u 0 x + c t + 1 2 c ∫ x - c t x + c t u t ( k , 0 ) d k

Onde:

c é o coeficiente da equação. No nosso caso é o 4 .

u 0 ( x ) = u ( x , 0 )

Agora vamos utilizar o que temos do enunciado para resolver a equação utilizando esse método.

Passo 2

u x , t = 1 2 2 1 + ( x - 4 t ) 2 + 2 1 + x + 4 t 2 + 1 8 ∫ x - 4 t x + 4 t - 8 k 1 + k 2 2 d k

u x , t = 1 1 + ( x - 4 t ) 2 + 1 1 + x + 4 t 2 + 1 2 1 1 + ( x + 4 t ) 2 - 1 1 + x - 4 t 2 ⟹ u x , t = 3 2 1 1 + x + 4 t 2 - 1 2 1 1 + x - 4 t 2

Para t = 1 :

u x , 1 = 3 2 1 1 + x + 4 2 - 1 2 1 1 + x - 4 2

Nós já temos o formato. Agora, para encontrar a velocidade, basta derivar em t :

u t x , t = - 3 2 8 x 1 + x + 4 t 2 2 + 1 2 8 x 1 + x - 4 t 2 2

Para t = 1 :

u t x , 1 = - 3 2 8 x 1 + x + 4 2 2 + 1 2 8 x 1 + x - 4 2 2

Resposta

u x , 1 = 3 2 1 1 + x + 4 2 - 1 2 1 1 + x - 4 2

u t x , 1 = - 3 2 8 x 1 + x + 4 2 2 + 1 2 8 x 1 + x - 4 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Os Problemas 19 e 20 indicam como é possível mostrar que a solução formal (20), (22) das Eqs. (1), (3) e (9) é, de fato, a solução desse problema.19- Usando a identidade trigonométrica s e nAc o sB=½
Seja h ( ξ ) o deslocamento inicial em [ 0 ,L ] estendido a ( - L ,0 ) como uma função ímpar e estendido ao resto da reta como uma função periódica de período 2 L . Supondo a continuidade de h e suas
Combinando os resultados dos Problemas 16 e 17, mostre que a solução do problemaé dada por
O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação de onda bidimensional em coordenadas polaresSupondo que u ( r ,θ ,t )=R r Θ ( θ ) T ( t ) , enco
Considere a equação de onda a 2 u x x = u t t em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciaisUsando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre queUse a primeira das equações no