Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

Ver Teoria

Enunciado

Resolva o problema:

u x x = u t t ,   0 < x < 10 ,   t > 0 ,

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( 10 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ,

u ( x , 0 ) = 0 ,   0 ≤ x ≤ 10 ,

u t ( x , 0 ) = 1 5 s e n ( 3 π x 10 ) + 2 5 s e n ( 7 π x 10 ) ,   0 ≤ x ≤ 10 .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado nos indica uma equação diferencial parcial definida como

u x x = u t t ,   0 < x < 10 ,   t > 0           ( 1 )

e apresenta condições de contorno sobre esta função, no ponto em que x = 0

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( 10 , t ) = 0 ,   t ≥ 0             ( 2 )

Além disso, temos condições iniciais ( t = 0 ) para o sistema como

u ( x , 0 ) = 0 ,   0 ≤ x ≤ 10             ( 3 )

e, também temos uma condição inicial pra primeira derivada no tempo

u t ( x , 0 ) = 1 5 s e n ( 3 π x / 10 ) + 2 5 s e n ( 7 π x / 10 ) m   0 ≤ x ≤ 10           ( 4 )

E agora como podemos resolver esse problema?

Vamos tentar resolver este sistema utilizando o método de separação de variáveis! Onde propõem-se uma solução da forma

u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )           ( 5 )

e, procuramos formatos para ambas as funções que obedeçam as condições estabelecidas em (1),(2), (3) e (4). Vamos lá!

Passo 2

O primeiro passo é substituir a equação (5) na equação (1), e para isso, vamos calcular as derivadas parciais necessárias

u x x = ∂ 2 ∂ x 2 [ X ( x ) T ( t ) ] = X ' ' ( x ) T ( t )

e, da mesma forma, temos que

u t t = ∂ 2 ∂ t 2 [ X ( x ) T ( t ) ] = X ( x ) T ' ' ( t )

Utilizando ambas expressões na equação (1), temos que

X ' ' ( x ) T ( t ) = X ( x ) T ' ' ( t )

De forma que podemos separar as variáveis para obter a seguinte relação

X ' ' ( x ) X ( x ) = T ' ' ( t ) T ( t )           ( 6 )

Como fomos capazes de separar as variáveis vamos ser capazes de construir equações diferenciais independentes para cada função! Você lembra como é este processo? Saca só!

Passo 3

Primeiramente, se cada lado da equação (6) depende de apenas uma variável, podemos dizer que a cada lado da equação deve ser igual à uma mesma constante, ou seja, podemos estabelecer que

X ' ' ( x ) X ( x ) = λ           ( 7 )

e, da mesma forma, temos que

T ' ' ( t ) T ( t ) = λ           ( 8 )

Ambas equações podem ser reescritas em um formato mais familiar! Temos da equação (7) que

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0           ( 9 )

e, da equação (8), temos que

T ' ' ( t ) - λ T ( t ) = 0           ( 10 )

Ambas equações (9) e (10) são equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, para a função X ( x ) e T ( t ) respectivamente. Vamos começar tentando resolver a equação (9). Se precisar procure dar uma relembrada em como tratamos este tipo de problemas! Vem comigo!

Passo 4

A solução de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem depende do formato de seu polinômio característico, das raízes deste polinômio e das condições iniciais.

Começando com a equação (9), teremos que avaliar as condições de contorno após obter soluções relacionadas ao seguinte polinômio

r 2 - λ = 0

Existem três casos que devem ser considerados! Quando temos λ > 0 , λ = 0 e λ < 0 , cada caso irá nos dar um formato diferente para a função X ( x ) e iremos verificar cada caso individualmente e avaliar se alguma destas possibilidades nos dá soluções não triviais!

Para isso, precisamos primeiro encontrar condições iniciais para a equação de segunda ordem (9). O caminho a se seguir, é utilizar a equação (5) juntamente com as condições de contorno (2), temos que

u ( 0 , t ) = X ( 0 ) T ( t ) = 0

Como temos que T ( t ) = 0 nos leva a solução u ( x , t ) = 0 , esta solução não é desejável, desta forma, podemos estabelecer a condição inicial X ( 0 ) = 0 como necessária para obtermos uma solução. Analogamente, temos que

u ( 10 , t ) = X ( 10 ) T ( t ) = 0

de onde obtemos a condição X ( 10 ) = 0 . Tendo estas condições em mãos, vamos analisar os três casos individualmente!

Passo 5

Primeiro, quando temos que λ > 0 , isso nos leva a raízes da forma r = ± λ , e então, a uma solução da forma

X ( x ) = C 1 e λ t + C 2 e - λ t

Sob as condições iniciais X ( 0 ) = 0 e X ( 10 ) = 0 , nós obtemos duas equações para os coeficientes constantes, da seguinte maneira

0 = C 1 + C 2

e, também que

0 = C 1 e 10 λ + C 2 e - 10 λ

não existe solução para estas equações exceto a solução trivial C 1 = C 2 = 0 . Portanto, esta não é uma boa escolha! Vamos tentar agora a escolha λ = 0 .

Passo 6

Temos que para λ = 0 , o polinômio característico nos dá raízes da forma

r = 0

está é uma raíz de multiplicidade 2, e portanto, a solução pode ser escrita como

X ( x ) = C 1 e 0 + C 2 x e 0 = C 1 + C 2 x

Aplicando as condições iniciais X ( 0 ) = 0 e X ( 10 ) = 0 , temos que

0 = C 1

e, também temos que

C 1 + 10 C 2 = 0

De forma, que novamente, C 1 = C 2 = 0 , e novamente, uma solução trivial, só nos resta uma alternativa! Vamos tentar λ < 0 !

Passo 7

Considerando λ < 0 iremos obter raízes da forma

r = ± i λ

Que nos resulta em uma solução da forma

X ( x ) = C 1 s e n ( λ x ) + C 2 c o s ( λ x )

Se aplicarmos novamente as condições iniciais, temos que

0 = C 2

e também que

0 = C 1 s e n ( 10 λ )

Em que C 1 = 0 nos dá a solução trivial! Mas, temos que 10 λ = n π nos dá um conjunto de soluções possíveis! Ou seja, temos que

λ = n 2 π 2 100

Ou seja, temos uma solução da forma

X n ( x ) = C n s e n ( n π x / 10 )           ( 11 )

Como apenas achamos uma solução não trivial para λ = n 2 π 2 / 100 é válido encontramos a solução para T ( t ) utilizando apenas este caso, como a forma funcional da equação (10) é a mesma da equação (9), temos que a solução terá o mesmo formato! Vamos dar uma olhada nisso com calma!

Passo 8

Temos que a solução para T ( t ) será da forma

T ( t ) = C 3 s e n ( λ t ) + C 4 c o s ( λ t )           ( 12 )

De forma que podemos escrever soluções da forma

T n ( t ) = C 3 s e n ( n π t / 10 ) + C 4 c o s ( n π t / 10 )

Ou seja, temos que

u n ( x , t ) = X n ( x ) T n ( t ) = ( A n s e n ( n π t / 10 ) + B n c o s ( n π t / 10 ) ) s e n ( n π x / 10 )

Ou, pelo princípio da superposição, temos que

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n s e n ( n π t / 10 ) s e n ( n π x / 10 ) + B n c o s ( n π t / 10 ) s e n ( n π x / 10 )           ( 13 )

Vamos aplicar as condições iniciais sobre essa solução!

Passo 9

O enunciado nos dá que

u t ( x , 0 ) = 1 5 s e n ( 3 π x 10 ) + 2 5 s e n ( 7 π x 10 )

Portanto, se derivarmos parcialmente a equação (13) no tempo, temos que

u t ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n n π 10 c o s ( n π t / 10 ) s e n ( n π x / 10 ) - B n n π 10 s e n ( n π t / 10 ) s e n ( n π x / 10 )

Aplicando a condição inicial, temos que

1 5 s e n ( 3 π x 10 ) + 2 5 s e n ( 7 π x 10 ) = ∑ n = 1 ∞ A n n π 10 s e n ( n π x / 10 )

Se compararmos os argumentos das funções senos em ambos os lados, é notável que os únicos termos que não se anulam na soma do lado direito, são aqueles em que n = 3 e n = 7 , e é possível identificar que 3 π A 3 / 10 = 1 / 5 , ou seja, A 3 = 2 / 3 π e 7 π A 7 / 10 = 2 / 5 , de forma que A 7 = 4 / 7 π portanto. Vamos analisar agora a outra condição inicial!

Passo 10

O enunciado também nos dá a condição

u ( x , 0 ) = 0

Portanto, da equação (13), temos que

0 = ∑ n = 1 ∞ B n s i n ( n π x / 10 )

Que nos indica que B n = 0 , desta forma, nossa solução final toma a seguinte forma

u ( x , t ) = 2 3 π s e n ( 3 π t / 10 ) s e n ( 3 π x / 10 ) + 4 7 π s e n ( 7 π t / 10 ) s e n ( 7 π x / 10 )

E essa é a nossa resposta! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

u ( x , t ) = 2 3 π s e n ( 3 π t / 10 ) s e n ( 3 π x / 10 ) + 4 7 π s e n ( 7 π t / 10 ) s e n ( 7 π x / 10 )

Exercícios de Livros Relacionados

Os Problemas 19 e 20 indicam como é possível mostrar que a solução formal (20), (22) das Eqs. (1), (3) e (9) é, de fato, a solução desse problema.19- Usando a identidade trigonométrica s e nAc o sB=½
Seja h ( ξ ) o deslocamento inicial em [ 0 ,L ] estendido a ( - L ,0 ) como uma função ímpar e estendido ao resto da reta como uma função periódica de período 2 L . Supondo a continuidade de h e suas
Combinando os resultados dos Problemas 16 e 17, mostre que a solução do problemaé dada por
O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação de onda bidimensional em coordenadas polaresSupondo que u ( r ,θ ,t )=R r Θ ( θ ) T ( t ) , enco
Considere a equação de onda a 2 u x x = u t t em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciaisUsando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre queUse a primeira das equações no