Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

d) L = 1 ,   g x = 2 ,   f x = 0 ,                       0 ≤ x ≤ 1 3 ; 1 30 x - 1 3 ,                         1 3 ≤ x ≤ 2 3 1 30 1 - x ,                         ��   2 3 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos o famoso problema de valor inicial da equação de onda, incluindo as condições de fronteira. Queremos resolvê-lo quando:

f x = 0 ,                       0 ≤ x ≤ 1 3 ; 1 30 x - 1 3 ,                         1 3 ≤ x ≤ 2 3 1 30 1 - x ,                             2 3 ≤ x ≤ 1

g x = 2

L = 1

Vamos usar o método da separação de variáveis para primeiro desenvolver uma solução geral em função de f ( x ) e g ( x ) , e no final substituímos f ( x ) e g ( x ) pelo dado no enunciado para particularizar a nossa solução, beleza?

Esse tipo de questão dá um trabalhinho, mas vale muito a pena! Então vem comigo que vai ficar tudo claro 😊

Passo 2

Bom, pelo método de separação das variáveis, temos:

u x , t = p x ⋅ q ( t )

Daí:

u t t = q ' ' t p ( x )

u x x = p ' ' x q ( t )

Daí, substituindo na equação de onda:

p x ⋅ q ' ' x - c 2 p ' ' x ⋅ q t = 0

Logo:

q ' ' ( t ) c 2 q t = p ' ' x p x = λ

Daí:

q ' ' t - λ c 2 g t = 0

e:

p ' ' x - λ p x = 0 p 0 = p L = 0   ( c o n d i ç õ e s   d e   c o n t o r n o )

Logo, os auto-valores e as auto-funções (que não nos entregam apenas a solução trivial) valem:

λ n =   - n 2 π 2 L 2 ,     n = 1,2 , 3 , …

e:

p n x = s e n n π x L ,     n = 1,2 , 3 , …

Voltando à EDO em g ( t ) , vem:

g n t = A n cos ⁡ n π c t L + B n s e n n π c t L ,         n = 1,2 , 3 , …

Logo, a solução formal da EDP vale:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ n π c t L + B n s e n n π c t L s e n n π x L

Onde, pelas condições de contorno, vamos ter:

A n = 2 L ⋅ ∫ 0 L f x s e n n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 , …

B n = 2 n π c ⋅ ∫ 0 L g x s e n n π x L d x ,     n = 1,2 , 3 , …

Excelente! Já encontramos a nossa solução 😉

Passo 3

Precisamos então calcular A n e B n usando f ( x ) e g ( x ) dados no enunciado.

Começando por B n , temos:

B n = 2 n π c ⋅ ∫ 0 1 2 s e n n π x d x

= 4 n π c ⋅ - 1 n π ⋅ cos ⁡ n π x 0 1

Logo, se n   p a r ∴ B n = 0 .

Se n   ímpar:

B n = 8 n 2 π 2 c

Ou, podemos escrever ainda para qualquer n :

B n = 8 2 n - 1 2 π 2 c

Massa!

Passo 4

Agora vamos pensar em A n .

A n = 2 L ⋅ ∫ 0 L f x s e n n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 , …

Como L = 1 :

A n = 2 ⋅ ∫ 0 1 f x s e n n π x d x ,       n = 1,2 , 3 , …

onde:

f x = 0 ,                       0 ≤ x ≤ 1 3 ; 1 30 x - 1 3 ,                         1 3 ≤ x ≤ 2 3 1 30 1 - x ,                             2 3 ≤ x ≤ 1

Então, vamos dividir a integral de A n em três partes:

A n = 2 ⋅ ∫ 0 1 3 0 ⋅ s e n n π x d x + 2 ⋅ ∫ 1 3 2 3 1 30 x - 1 3 s e n n π x d x + 2 ⋅ ∫ 2 3 1 1 30 1 - x s e n n π x d x

= 1 15 ⋅ ∫ 1 3 2 3 x s e n n π x d x - 1 3 ⋅ ∫ 1 3 2 3 s e n n π x d x + ∫ 2 3 1 s e n n π x d x - ∫ 2 3 1 x s e n n π x d x

Mais integrais... vamos matar todas elas!

1 3 ⋅ ∫ 1 3 2 3 s e n n π x d x = - 1 3 n π ⋅ cos ⁡ n π x 1 3 2 3

= 1 3 n π ⋅ cos ⁡ n π 3 - cos ⁡ 2 n π 3

Analogamente:

∫ 2 3 1 s e n n π x d x = - 1 n π ⋅ cos ⁡ n π x 2 3 1

= 1 n π ⋅ cos ⁡ 2 n π 3 - cos ⁡ n π

Agora vamos calcular:

∫ 2 3 1 x s e n n π x d x

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x

Logo, temos:

∫ 2 3 1 x s e n n π x d x = x n π ⋅ - cos ⁡ n π x 2 3 1 + 1 n π ⋅ ∫ 2 3 1 cos ⁡ n π x d x

= 2 3 n π ⋅ cos ⁡ 2 n π 3 - 1 n π ⋅ cos ⁡ n π + 1 n π ⋅ 1 n π ⋅ s e n n π x 2 3 1

= 2 3 n π ⋅ cos ⁡ 2 n π 3 - 1 n π ⋅ cos ⁡ n π + 1 2 n 2 π 2 s e n n π - s e n 2 n π 3  

Daí, vamos analisar. Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Logo:

∫ 2 3 1 x s e n n π x d x = 2 3 n π ⋅ cos ⁡ 2 n π 3 - 1 n π ⋅ cos ⁡ n π - 1 n 2 π 2 s e n 2 n π 3

Analogamente:

∫ 1 3 2 3 x s e n n π x d x = x n π ⋅ - cos ⁡ n π x 1 3 2 3 + 1 n π ⋅ 1 n π ⋅ s e n n π x 1 3 2 3

= 1 3 n π cos ⁡ n π - 2 cos ⁡ 2 n π 3 + 1 n 2 π 2 ⋅ s e n 2 n π 3 - s e n n π 3

Substituindo todos esses resultados em A n , temos:

A n = 1 15 ⋅ 1 3 n π cos ⁡ n π - 1 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 3 - 1 3 n π ⋅ cos ⁡ n π 3

∴ A n = 1 15 ⋅ 1 3 n π cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 3 - 1 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 3

Passo 5

Voltando para a solução formal da EDP, temos:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ n π c t L + B n s e n n π c t L s e n n π x L

onde:

A n = 1 15 ⋅ 1 3 n π cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 3 - 1 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 3

e:

B n = 8 2 n - 1 2 π 2 c

Prontinho gente!

Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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