Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Use o método de D’Alembert para encontrar a solução do problema:

u t t = 4 u x x ,         - ∞ < x , t < ∞ u x , 0 = 2 x 2 ,         - ∞ < x < ∞ u t x , 0 = 1 ,         - ∞ < x < ∞

Passo 1

Vamos aplicar o método de D’Alembert. A fórmula é:

u x , t = 1 2 u 0 x - c t + u 0 x + c t + 1 2 c ∫ x - c t x + c t u t ( k , 0 ) d k

Onde:

c é o coeficiente da equação. No nosso caso é o 2 .

u 0 ( x ) = u ( x , 0 )

Agora vamos utilizar o que temos do enunciado para resolver a equação utilizando esse método.

Passo 2

u x , t = 1 2 2 ⋅ x - 2 t 2 + 2 ⋅ x + 2 t 2 + 1 2 ⋅ 2 ∫ x - 2 t x + 2 t 1 d k

u x , t = 2 x 2 + 8 t 2 + 1 4 x + 2 t - x - 2 t ⟹ u x , t = 2 x 2 + 8 t 2 + t

Simples, não?

Resposta

u x , t = 2 x 2 + 8 t 2 + t

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