Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Determina as soluções de

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,             0 < x < L ,   t > 0 ;

u x , 0 = f x ,           ∂ t u x , 0 = g x ,

Nos casos seguintes:

a )   f x = x 2 ,   g x = x .

Passo 1

Falaaaaaa galera, tudo na paz?

Nessa questão recebemos a EDP conhecida como equação da onda, e precisamos determinar as soluções para cada um dos problemas de valor inicial dados.

Temos a EDP:

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u

Com as condições iniciais:

u x , 0 = x 2

∂ t u x , 0 = x

Pra resolver esse problema tem uma receitinha de bolo que precisamos seguir. Vamos dar uma revisada rápida:

1 ) Usar o método da separação de variáveis para obter as EDO’s separadas em X ( x ) e T ( t ) , onde:

u x , t = X x T ( t )

2 ) Resolver a EDO que tiver duas condições de contorno e substituir o valor de λ encontrado na outra EDO.

3 ) Fazer a combinação linear das soluções obtidas

4 ) Obter os coeficientes resolvendo as séries de Fourier das condições iniciais

É galera... dá um trabalho bom mesmo! Mas vamos dar o gás que acabamos rapidinho 😊

Passo 2

Começando pelo método de separação de variáveis, façamos:

u x , t = X x T ( t )

Então:

∂ x 2 u = T x ⋅ X ' ' x

∂ t 2 u = X x ⋅ T ' ' ( t )

Substituindo na EDP:

X x ⋅ T ' ' t = c 2 ⋅ X ' ' x ⋅ T t

Logo:

T ' ' t c 2 T t = X ' ' x X x = λ

Daí, temos duas EDO’s:

X ' ' x - λ X x = 0 T ' ' x - λ c 2 T t = 0

Massa! Vamos analisar algumas condições de contorno do nosso problema.

Como se trata da equação da onda, vamos considerar que as extremidades estão fixas (embora não tenha sido dado no enunciado, essa informação é fundamental pra continuarmos resolvendo nosso probleminha).

Assim:

u 0 , t = u L , t = 0

Como separamos a função u , temos:

X 0 ⋅ T t = 0

Para fugir da solução trivial (isto é, T ( t ) constante e igual a 0 ), ficamos com:

X 0 = 0

Analogamente, teremos também:

X L = 0

Daí, podemos montar o seguinte PVI em x :

X ' ' x - λ X x = 0 X 0 = X L = 0

E:

T ' ' t - λ c 2 T t = 0

Vamos resolver primeiro o PVI, depois que descobrirmos o valor de λ substituímos na EDO em T para encontrar a sua solução.

Passo 3

X ' ' x - λ X x = 0 X 0 = X L = 0

A EDO nos dá a equação característica:

r 2 - λ = 0

∴ r = λ

Os casos λ ≥ 0 nos dará a solução trivial, que não estamos interessados. Daí, vamos considerar o caso λ < 0 . Ficamos com:

X x = c 1 s e n - λ x + c 2 cos ⁡ - λ x

Como:

X 0 = 0

Temos:

X 0 = c 2 = 0

Como X L = 0 , temos:

X L = c 1 s e n - λ L = 0

Logo:

- λ L = n π

∴ λ n =   - n 2 π 2 L ,     n = 1,2 , 3 , …

Muito bom! Temos então a solução particular:

X x = s e n n π x L ,     n = 1,2 , 3 , …

Substituindo esse resultado na EDO em T ( t ) , vamos ter que:

T n t = a n cos ⁡ n π c t L + b n s e n n π c t L  

Excelente!

Aí agora, pra escrevermos a solução formal da equação da onda, basta considerarmos a combinação linear das soluções particulares que encontramos.

Ou seja:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π c t L + b n s e n n π c t L s e n n π x L ,       n = 1,2 , 3 , …

Muito bom!

Passo 4

Mas quem é a n e b n ?

Então, pra determinarmos esses coeficientes vamos finalmente usar as condições iniciais dadas no problema. Como:

u x , 0 = x 2

Substituindo na nossa solução formal, temos que:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ a n s e n n π x L = x 2

Conseguiu perceber alguma coincidência com a série de Fourrier? No somatório estamos desenvolvendo justamente a extensão ímpar da função x 2 . Assim, o seu coeficiente pode ser calculado como:

a n = 2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x

Perfeito!

Substituindo agora a outra condição de contorno, vamos ter que:

∂ t u x , 0 = x

Derivando a solução formal da EDP com relação a t , temos:

∂ t u = ∑ n = 1 ∞ - a n n π c L ⋅ s e n n π c t L + b n n π c L ⋅ cos ⁡ n π c t L s e n n π x L

Fazendo t = 0 , ficamos com:

∂ t u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n n π c L s e n n π x L = x

Novamente, percebendo a semelhança com a série de Fourrier, vamos ter que o coeficiente que multiplica o seno é dado por:

b n n π c L = 2 L ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Logo:

b n = 2 n π c ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Excelente! Agora que já montamos as equações, é só calcularmos quanto vale cada termo!

Passo 5

Começando pelo cálculo de a n , temos:

a n = 2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Para resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Vamo dar uma revisada:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

No caso da nossa integral, vamos chamar:

u = x 2 d v =   s e n n π x L

Assim:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x

O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:

u = x d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = x L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - L n π ⋅ ∫ 0 L s e n n π x L d x

= L 2 n π ⋅ s e n n π - L n π ⋅ L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L

Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Assim:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = 0 + L 2 n 2 π 2 ⋅ c o s ⁡ ( n π ) - L 2 n 2 π 2

Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

=   - L 3 n π ⋅ cos ⁡ n π + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

Como:

cos ⁡ n π = 1 ⇔ n   p a r cos ⁡ n π = - 1 ⇔ n   í m p a r

Então,

- Se n   par:

cos ⁡ n π - 1 = 0

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = - L 3 n π

- Se n ímpar:

cos ⁡ n π - 1 = - 2

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = L 3 n π 1 - 4 n 2 π 2

Perfeito!

Logo, para o coeficiente a n , vamos ter:

- n par:

a n =   - 2 L 2 n π

- n ímpar:

a n = 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2

E aí, tão conseguindo acompanhar até aqui?

Passo 6

Vamos agora calcular b n :

b n = 2 n π c ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ 0 L x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + L n π ⋅ ∫ 0 L cos ⁡ n π x L d x

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L 0 L

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π  

Daí, vamos analisar. Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Ficamos só com o primeiro termo:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π

Daí, quando tivermos:

cos ⁡ n π = - 1 ,     n   í m p a r cos ⁡ n x = 1 ,     n   p a r

Podemos escrever:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π = - L 2 n π ⋅ - 1 n

= - 1 n + 1 L 2 n π

Então, substituindo em b n , vem:

b n = 2 n π c ⋅ - 1 n + 1 L 2 n π

∴ b n = - 1 n + 1 2 L 2 n 2 π 2 c ,             n = 1,2 , 3 , …

Muito bom!

Passo 7

Pra finalizar, vamos juntar tudo que encontramos até agora porque sei que teve bastaaaaante informação.

Vimos que a solução formal da EDP é dada por:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π c t L + b n s e n n π c t L s e n n π x L ,       n = 1,2 , 3 , …

Sobre esses coeficientes, usando as séries de Fourrier, calculamos que:

- n par:

a n =   - 2 L 2 n π

- n ímpar:

a n = 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2

E, para b n :

b n = - 1 n + 1 2 L 2 n 2 π 2 c ,             n = 1,2 , 3 , …

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π c t L + b n s e n n π c t L s e n n π x L ,       n = 1,2 , 3 , …

- n par:

a n =   - 2 L 2 n π

- n ímpar:

a n = 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2

E:

b n = - 1 n + 1 2 L 2 n 2 π 2 c ,             n = 1,2 , 3 , …

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