Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Resolva o PVIF (problema de valor inicial e de fronteira)

u t t = u x x ,     0 < x < 1 ,     t > 0 u x 0 , t =   u x 1 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x   u t x , 0 = 0 ,     0 < x < 1 ,     0 < x < 1

pelo método de separação de variáveis.

Passo 1

Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , t = X x T t

Já deu pra reconhecer que é a equação de onda, né? Melhor ainda, aqui o a = 1 . Vamos seguir então!

Com a separação, teremos:

u t t x , t = X x T ' ' ( t )

u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Portanto, nossa equação se torna

u t t = u x x

X x T ' ' t = X ' ' x T ( t )

T ' ' t T t = X ' ' ( x ) X x = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em t , mas ambas com a mesma ‘cara’):

T ' ' t + λ T t = 0 X ' ' x + λ X x = 0

Passo 2

Agora, vamos olhar para as condições iniciais:

u x 0 , t = 0 → X ' 0 T t = 0 ,     t > 0       ( I )

u x 1 , t = 0 → X ' 1 T t = 0 ,     t > 0       ( I I )

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x   → U x T 0 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x ,     0 < x < 1         ( I I I )

u t x , 0 = 0 → X x T ' ( 0 ) = 0 ,     0 < x < 1       ( I V )

De ( I ) e ( I I ) , se T t = 0 , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em u x , t = X x T t = 0 , não atenderia à condição ( I I I ) . Logo, T t ≠ 0 .

Neste caso, nos resta admitir o seguinte:

X ' 0 = 0

X ' 1 = 0

Analogamente, de ( I V ) , tiramos:

T ' 0 = 0

Passo 3

Vamos olhar para a variável x , primeiro. Ela forma o seguinte problema

X ' ' x + λ X x = 0 X ' 0 = X ' 1 = 0

Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± i λ

E a solução geral é da forma

X x = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

Passo 4

Derivando X ( x ) e aplicando as condições de contorno:

X ' x = - C 1 λ  sen ⁡ λ x + C 2 λ  cos ⁡ λ x

X ' 0 = C 2 λ = 0 → C 2 = 0

X ' 1 = - C 1 λ  sen ⁡ λ = 0 →  sen ⁡ λ = 0

Note que na última equação não podemos ter C 1 = 0 (se não teríamos X x = 0 ). Então, precisamos de  sen ⁡ λ = 0 . Como C 2 = 0 , sobra

X x = C 1 cos ⁡ λ x

Passo 5

Como queremos  sen ⁡ λ = 0 , basta fazer λ = n π ,   n ∈ Z + , de modo que obtemos λ n = n π 2 . Estes são nossos autovalores!

Portanto, ficamos com

X x = C 1 cos ⁡ n π x

que são nada mais nada menos que nossas autofunções!

Passo 6

Agora que já conhecemos os autovalores λ n = n π 2 , vamos voltar pra equação em t :

T ' ' t + λ T t = 0

Como a cara é a mesma da equação em x , temos:

T t = K 1 cos ⁡ λ t + K 2 sen ⁡ λ t

T t = K 1 cos ⁡ n π t + K 2 sen ⁡ n π t

Mas não se esqueça da condição ( I V ) : T ' 0 = 0 . Logo,

T ' ( t ) = - n π K 1 sen ⁡ n π t + n π K 2 cos ⁡ n π t

T ' 0 = n π K 2 = 0

K 2 = 0

Portanto:

T t = K 1 cos ⁡ n π t

E, assim, uma solução deve ser (vamos deixar só uma constante K por enquanto) :

u x , t = X x T t

u x , t = K cos ⁡ n π x cos ⁡ n π t

Passo 7

Note que se qualquer K cos ⁡ n π x cos ⁡ n π t é solução, então uma combinação linear dessas soluções (para diferentes valores de n ) também é solução. Podemos escrever

u x , t = ∑ n = 1 ∞ k n cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ n π t

Finalmente, vamos olhar para a condição ( I I I ) . O que ela diz?

X x T 0 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x ,     0 < x < 1

Mas T ( 0 ) é uma constante que pode ser absorvida. Logo:

X x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x

Mas lembre que u x , 0 = X x T ( 0 ) . Só que se fizermos t = 0 , teremos:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ k n cos ⁡ ( n π x )

De modo que k n = 1 n 2 são os coeficientes da própria série de Fourier. Assim,

u x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ n π t

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ n π t

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