Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Resolva o problema de oscilação numa corda infinita (método de D’Alembert).

u t t = u x x ,         - ∞ < x , t < ∞ u x , 0 = 2 1 + x 2 ,         - ∞ < x < ∞ u t x , 0 = - 8 x 1 + x 2 2 ,         - ∞ < x < ∞

Passo 1

Vamos aplicar o método de D’Alembert. A fórmula é:

u x , t = 1 2 u 0 x - c t + u 0 x + c t + 1 2 c ∫ x - c t x + c t u t ( k , 0 ) d k

Onde:

c é o coeficiente da equação. No nosso caso é o 1 .

u 0 ( x ) = u ( x , 0 )

Agora vamos utilizar o que temos do enunciado para resolver a equação utilizando esse método.

Passo 2

u x , t = 1 2 2 1 + ( x - t ) 2 + 2 1 + x + t 2 + 1 2 ∫ x - t x + t - 8 k 1 + k 2 2 d k

Resolvendo essa integral a gente encontra:

∫ x - t x + t - 8 k 1 + k 2 2 d k = 4 1 + ( x + t ) 2 - 4 1 + x - t 2

Substituindo:

u x , t = 1 1 + ( x - t ) 2 + 1 1 + x + t 2 + 1 2 4 1 + ( x + t ) 2 - 4 1 + x - t 2

u x , t = 1 1 + ( x - t ) 2 + 1 1 + x + t 2 + 2 1 1 + ( x + t ) 2 - 1 1 + x - t 2 ⟹ u x , t = 3 1 + x + t 2 - 1 1 + x - t 2

Resposta

u x , t = 3 1 + x + t 2 - 1 1 + x - t 2

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