Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.

  1. y ' = 1 - 2 x y 2 , y 0 = - 1 / 6 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 0 = - 1 / 6 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d y d x = 1 - 2 x y 2 ∴

Separando a equação e integrando, temos:

∫ 1 y 2 d y = ∫ 1 - 2 x d x ∴

- 1 y + c ' = x - x 2 + c ' ' ∴

1 y = - x - x 2 + c ∴

y = - 1 x - x 2 + c

Passo 3

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 0 = - 1 / 6 , temos:

y 0 = - 1 6 ∴

- 1 0 - 0 2 + c = - 1 6 ∴

c = 6

Passo 4

Assim, substituindo na equação do Passo 2, temos que y é dado por:

y = - 1 x - x 2 + 6

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - 1 x - x 2 + 6

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