Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.

b) y ' = 1 - 2 x / y , y 1 = - 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 1 = - 2 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d y d x = 1 - 2 x y ∴

Separando a equação e integrando, temos:

∫ y d y = ∫ 1 - 2 x d x ∴

y 2 2 + c ' = x - x 2 + c ' ' ∴

y 2 = 2 x - x 2 + c ∴

y = ± 2 x - 2 x 2 + c

Passo 3

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 1 = - 2 , temos:

y 1 = - 2 ∴

- 2 = ± 2 - 2 + c ∴

- 2 = ± c

Passo 4

Detalhe: Na expressão, o sinal de y deve ser negativo e c = 4 como único resultado possível.

Dessa forma, o resultado é dado por:

y = - 2 x - 2 x 2 + 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - 2 x - 2 x 2 + 4

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