Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Resolva as equações de diferenças abaixo:

(a)

y n + 1 = y n 2 - 2 n y n + 2 ,           y 0 = 1

Passo 1

a

Para resolver essa equação de diferenças, vamos ver como fica a equação para cara n natural.

y 1 = y 0 2 + 2 = 1 + 2 = 3

y 2 = y 1 2 - 2 y 1 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5

y 3 = y 2 2 - 4 y 2 + 2 = 25 - 20 + 2 = 7

y 4 = y 3 2 - 6 y 3 + 2 = 49 - 42 + 2 = 9

y 5 = y 4 2 - 8 y 4 + 2 = 81 - 72 + 2 = 11

Pelo padrão, da pra notar que a solução vai ter a cara de

y n = 2 n + 1

Substituindo na equação, temos

2 n + 1 + 1 = 2 n + 1 2 - 2 n 2 n + 1 + 2

Temos que mostrar que essa igualdade é valida para todo n natural.

Então, desenvolvemos os dois lados e verificamos que são iguais.

O lado esquerdo fica

2 n + 1 + 1 = 2 n + 2 + 1 = 2 n + 3

O lado direito fica

2 n + 1 2 - 2 n 2 n + 1 + 2 = 4 n 2 + 4 n + 1 - 4 n 2 - 2 n + 2 = 2 n + 3

Logo, temos que a solução da equação fica

y n = 2 n + 1

Resposta

(a)

y n = 2 n + 1

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