Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.

d) d r d θ = r 2 / θ , r 1 = 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial r 1 = 2 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

d r d θ = r 2 θ ∴

Separando a equação e integrando, temos:

∫ d r r 2 = ∫ d θ θ ∴

- 1 r + c ' = ln ⁡ θ + c ' ' ∴

r = - 1 ln ⁡ θ + c

Passo 3

Dessa forma, aplicando a condição inicial r 1 = 2 , temos:

2 = - 1 ln ⁡ 1 + c ∴

c = - 0,5

Passo 4

Detalhe: Na expressão, o sinal de y deve ser negativo e c = - 0,5 como único resultado possível.

Dessa forma, o resultado é dado por:

r = - 1 ln ⁡ θ - 0,5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r = - 1 ln ⁡ θ - 0,5

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