Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Nas questões 8 e 9 utilize a lei de resfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo. Isto é

d T d t = k T a m b - T t

onde T ( t ) é a temperatura do objeto no instante de tempo t, T a m b   é a temperatura do

ambiente e k é o coeficiente de transferência de calor.

Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100   F ° em um quarto com temperatura

constante de 0 F ° . Se, após 20   m i n , a temperatura da barra é de 50   ° F , determine:

  1. O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de 25 ° F ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação de aquecimento de Newton

d T d t = k T a m b - T t

E perguntou o tempo para que a barra chegar até a temperatura de 25 ° F

Mas como resolver ela?

Nessa questão temos uma barra de metal que está 100 ° F dentro de um quarto que está a 0 ° F . Depois de 20   minutos a barra está a 50 ° F . A barra trocou de calor com o ambiente e por isso diminuiu a sua temperatura.

Queremos calcular o tempo necessário para que a barra chegue a 25 ° F .

Pra isso vamos usar a lei do resfriamento de Newton:

d T d t = k T - T m

Onde T é a temperatura do corpo que varia, T m é a temperatura do meio e k é a constante do material.

A ideia então é usar a equação dada para achar uma função que nos dê a temperatura da barra em função do tempo!

Mas relaxa, vou fazer com você!

Passo 2

Resolvendo essa EDO separável:

d T d t = k T - T m

Passando tudo que tem T pra um lado e t para o outro:

d T T - T m = k d t

Integrando dos dois lados:

∫ d T T - T m = ∫ k d t

ln ⁡ ( T - T m ) = k t + C

Passo 3

Nós temos dois pontos, o inicial:

ln ⁡ ( 100 - 0 ) = k 0 + C

C = ln ⁡ 100

E depois de 20 minutos:

ln ⁡ ( 50 - 0 ) = k 20 + ln ⁡ 100

20 k = ln ⁡ 50 - ln ⁡ 100

20 k = ln ⁡ 50 100

20 k = ln ⁡ 1 2

k = 1 20 ln ⁡ 1 2

Então a equação fica:

ln ⁡ ( T ) = 1 20 ln ⁡ 1 2 t + ln ⁡ 100

Essa é a equação que dá a temperatura em função do tempo! Agora podemos achar nossa letra a

Passo 4

Pra achar o tempo necessário pra barra chegar a 25 ° F :

ln ⁡ ( 25 ) = 1 20 ln ⁡ 1 2 t + ln ⁡ 100

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 25 - ln ⁡ 100

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 25 100

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 1 4

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 1 2 2

1 20 ln ⁡ 1 2 t = 2 ln ⁡ 1 2

t = 40   m i n

Resposta

40   m i n

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