Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Nas questões 8 e 9 utilize a lei de resfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo. Isto é

d T d t = k T a m b - T t

onde T ( t ) é a temperatura do objeto no instante de tempo t, T a m b   é a temperatura do

ambiente e k é o coeficiente de transferência de calor.

Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura

constante de 30 ° F . Se após 10   m i n a temperatura do corpo é de 0 ° F e após 20   m i n é de

15 °   F , determine a temperatura inicial.

Passo 1

Oi, tudo bem? beleza??

Nessa questão vamos determinar a temperatura inicial do corpo.

Pra isso vamos usar a lei de resfriamento de Newton:

d T d t = k T - T m

Onde T é a temperatura do corpo que varia, T m é a temperatura do meio e k é a constante do material.

Passo 2

Resolvendo essa EDO separável:

d T d t = k T - T m

Passando tudo que tem T pra um lado e t para o outro:

d T T - T m = k d t

Integrando dos dois lados:

∫ d T T - T m = ∫ k d t

ln ⁡ ( T - T m ) = k t + C

Beleza?

Passo 3

Temos que a temperatura do meio é 30 ° F e duas condições:

- após 10 minutos a temperatura do corpo é 0 ° F , então:

ln ⁡ ( 0 - 30 ) = k 10 + C

ln ⁡ - 30 = 10 k + C

- após 20 minutos a temperatura do corpo é 15 ° F , então:

ln ⁡ 15 - 30 = k 20 + C

ln ⁡ - 15 = 20 k + C

Achando k e C :

k = - ln ⁡ 2 10

C = ln ⁡ - 60

Passo 4

Como queremos a temperatura inicial, então é a temperatura quando t = 0 , então:

ln ⁡ ( T - T m ) = k t + C

ln ⁡ T - 30 = ln ⁡ - 60

T - 30 = - 60

T = - 30 ° F

Resposta

- 30   ° F

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