Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp 70 exercício 3

Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial y 0 e descreva seu comportamento quando n

y n + 1 = - 1 n + 1 y n

Passo 1

Essa é uma equação da diferença onde para cada termo temos uma relação, vamos ver como fica para os primeiros

n = 0 y 1 = - 1 y 0

n = 1 y 2 = - 1 2 y 1 y 2 = - 1 2 - 1 y 0 = - 1 y 0

n = 2 y 3 = - 1 3 y 2 y 2 = - 1 3 - 1 y 0 = + 1 y 0

n = 3 y 4 = - 1 4 y 3 y 3 = - 1 4 + 1 y 0 = + 1 y 0

n = 4 y 5 = - 1 5 y 4 y 4 = - 1 5 + 1 y 0 = - 1 y 0

Então podemos perceber que ele alterna o sinal a cada dois números, ou seja, se for 0 ou 1 ele volta a repetir 4 termos depois,

y n = - y 0     s e   n = 0 + 4 k     o u   n = 1 + 4 k

Isso com k = 0,1 , 2,3

A mesma coisa vai acontecer com 2 e 3

y n = y 0     s e   n = 0 + 4 k     o u   n = 1 + 4 k

Então

y n = - y 0 s e   n = 4 k   o u   n = 1 + 4 k y 0 s e   n = 2 + 4 k   o u   n = 3 + 4 k

Com k = 0,1 , 2,3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora como se comporta essa função quando n

Como ela alterna entre 1 e - 1 não podemos definir o seu limite, então o limite não existe

Resposta

y n = - y 0 s e   n = 4 k   o u   n = 1 + 4 k y 0 s e   n = 2 + 4 k   o u   n = 3 + 4 k

A função não tem limite.

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