Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função y x que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas

y n + 1 = - 0,5 y n + 6

y 2 = 1

Passo 1

Aqui temos uma equação não homogênea, primeiro vamos resolver a equivalente homogênea

y n + 1 = - 0,5 y n

Lembra como é a solução?

y h = - 0,5 n y 0

Show vamos para a particular agora

Passo 2

Nesse caso

b = 6

A solução particular vai ser

y p = 1 - - 0,5 n 1 - - 0,5 6 = 1 - - 0,5 n 1,5 6 = 1 - - 0,5 n 3 2 6 = 1 - - 0,5 n 2 3 6

y p = 4 1 - - 0,5 n

Passo 3

A solução geral vai ser

y n = y h + y p

y n = - 0,5 n y 0 + 4 1 - - 0,5 n

Passo 4

Precisamos achar o valor de y 0 pelo valor inicial que ele deu.

y 2 = 1

y 2 = - 0,5 2 y 0 + 4 1 - - 0,5 2

1 = - 1 2 2 y 0 + 4 1 - - 1 2 2

1 = y 0 4 + 4 1 - 1 4

1 = y 0 4 + 4 3 4

y 0 4 = 1 - 3

y 0 = - 8

A solução geral vai ser

y n = - 8 - 0,5 n + 4 1 - - 0,5 n

Podemos fazer a distributiva daquele parênteses

y n = - 8 - 0,5 n + 4 - 4 - 0,5 n

y n = - 12 - 0,5 n + 4

Resposta

y n = - 12 - 0,5 n + 4

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