Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Um tanque de 12 litros de água contém 1 k g de sal. Você o irriga com água limpa a uma taxa de 2 litros por minuto e deixa a mistura escoar com a mesma vazão.

a) Encontre uma fórmula para Q ( t ) que expressa a quantidade de sal (em k g ) em função do tempo (em minutos).

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho?

Essa questão traz uma aplicação mais prática das nossas equações diferenciais. Temos um tanque de 12 litros, e esse volume é mantido constante ao longo do tempo (pois o volume d’água que sai é igual ao que entra).

Inicialmente, são adicionados 1 k g de sal no tanque e ao longo do tempo, água limpa é adicionada no tanque enquanto a água “salgada” sai dele. É dito que a água limpa entra em uma taxa de 2   litros por minuto, e a água “salgada” sai na mesma taxa.

O objetivo do exercício é que a gente determine uma expressão para a quantidade de sal no tanque em função do tempo.

Pra fazer isso vamos analisar a taxa em que a quantidade de sal dentro do tanque está diminuindo, beleza? Vamo lá!

Passo 2

Então, o sal está saindo do tanque junto com a água a uma taxa de 2   litros por minuto. O grande ponto é quanto de sal está diluído em 2 litros de água.

Pra responder isso precisamos pensar que o sal deve-se diluir homogeneamente no tanque. Assim, se em um dado instante t tem uma quantidade Q ( t ) de sal dentro do tanque, ele deve estar todo diluído de modo que sua concentração vale:

C = Q t 12

(Importante destacar que o denominador é sempre 12 porque o volume do tanque não muda).

Assim, em um intervalo de tempo d t deve sair do tanque uma quantidade de água dada por:

2 d t

Logo a quantidade de sal, d Q , que deixa o tanque no intervalo de tempo d t , vale:

d Q = 2 d t ⋅ Q t 12

Ou seja:

d Q d t = 1 6 ⋅ Q t

Perfeito!

Passo 3

Pra finalizar precisamos resolver a EDO:

d Q d t = 1 6 ⋅ Q t

Para encontrar uma expressão pra quantidade de sal dentro do tanque, Q ( t ) , em função do tempo.

Manipulando a EDO, temos:

d Q Q t = 1 6 d t

Integrando dos dois lados temos:

∫ 1 Q ⋅ d Q = 1 6 ∫ d t  

ln ⁡ Q = t 6 + k

Logo:

Q t = e t 6 + k

= e k ⋅ e t 6

Mas, quando t = 0 , temos Q t = 1 . Assim:

Q 0 = e k ⋅ e 0 = 1

∴ e k = 1 ⇒ k = 0

Ou seja:

Q t = e t 6

Prontinho gente, encontramos uma expressão pra Q ( t ) em função do tempo t em minutos.

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Q t = e t 6

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