Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Encontre a solução da equação

y n = 1,01   y n - 1 - 263 ,

com a condição inicial y 0 = 10   000 . Estude o comportamente da solução quando n → ∞ .

Passo 1

Vamos refletir. Isso parece uma equação da diferença não homogênea, né? Mas lembra que a equação da diferença que a gente tem a solução na cabeça tem a forma geral:

y m + 1 = ρ y m + b

Mas a nossa não está com esses índices. Repara:

y n = 1,01   y n - 1 - 263

Só que fizermos a substituição

n = m + 1

Olha só! Nossa equação fica com a carinha da forma geral:

y m + 1 = 1,01   y m - 263

Comparando com a forma geral, a gente tem:

ρ = 1,01 ,     b = - 263

Vamos resolver essa equação nova que a gente achou, primeiro. Aí por ela a gente acha a resolução que ele pediu. Vem!

Passo 2

Primeira coisa é achar a solução da equação homogênea correspondente:

y m + 1 = 1,01   y m

Ela tem essa cara:

y m h = ρ m y m = 0

Aí substituindo nossos dados:

y m h = 1,01 m y m = 0

Passo 3

Agora é achar a solução particular. Ela também tem fórmulinha! É:

y p h = 1 - ρ m 1 - ρ b

Substituindo nossos dados aí:

y p h = - 1 - 1,01 m 0,01 263

Aí a solução geral daquela equação é a soma da solução homogênea com a particular:

y m = y m h + y p h

y m = 1,01 m y m = 0 - 1 - 1,01 m 0,01 263

Passo 4

Maaas, precisamos lembrar que a gente disse que

n = m + 1

E substituir isso na solução que a gente achou, já que nossa equação mesmo usa n e não m .

Aí a gente substitui ali:

n = m + 1 ∴ n - 1 = m

y m = 1,01 m y m = 0 - 1 - 1,01 m 0,01 263

y n - 1 = 1,01 n - 1 y m = 0 - 1 - 1,01 n - 1 0,01 263

E aquele termo m = 0 ?

Cara, como a gente disse que

n = m + 1

Fazendo m = 0

n = 1

Então nossa expressão fica:

y n - 1 = 1,01 n - 1 y 1 - 1 - 1,01 n - 1 0,01 263

Acabou? Ainda não hahaha Mas calma, a gente consegue!

Passo 5

A gente precisa achar uma expressão para y n , mas a gente tem y n - 1 . Então ainda não chegamos lá.

Maaas, a nossa EDO relaciona y n e y n - 1 . Então a gente pode fazer:

y n = 1,01   y n - 1 - 263

Substituir nossa expressão para y n - 1 aí:

y n = 1,01   1,01 n - 1 y 1 - 1 - 1,01 n - 1 0,01 263 - 263

Ajeitando:

y n = 1,01 n y 1 - 1,01 1 - 1,01 n - 1 0,01 263 - 263

y n = 1,01 n y 1 - 101 ⋅ 263 1 - 1,01 n - 1 - 263

Agora acabou? Não ☹ A gente precisa achar y 1 . Vem comigo, vem!

Passo 6

O enunciado nos deu y 0 = 10   000 , mas a gente precisa de y 1 . Será que dá para achar y 1 então?

Claro que dá! Olha nossa EDO:

y n = 1,01   y n - 1 - 263

Se a gente fizer n = 1 :

y 1 = 1,01 y 0 - 263

Aí substituindo y 0 = 10   000 :

y 1 = 1,01 10   000 - 263

y 1 = 10100 - 263

y 1 = 9837

Passo 7

Agora sim! Ufa! Essa é a nossa solução:

y n = 1,01 n y 1 - 101 ⋅ 263 1 - 1,01 n - 1 - 263

y n = 9837 1,01 n - 101 ⋅ 263 1 - 1,01 n - 1 - 263

Passo 8

Vamos ver o comportamento dela quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ 9837 1,01 n - 101 ⋅ 263 1 - 1,01 n - 1 - 263

lim n → ∞ ⁡ 9837 1,01 n - 101 ⋅ 263 + 101 ⋅ 263 1,01 n - 1 - 263

Como a gente tem potência com base maior que 1 e expoente tendendo ao infinito, e as duas são termos positivos, a gente tem que:

lim n → ∞ ⁡ 9837 1,01 n - 101 ⋅ 263 + 101 ⋅ 263 1,01 n - 1 - 263 → ∞

lim n → ∞ ⁡ y n → ∞

Resposta

y n = 9837 1,01 n - 101 ⋅ 263 1 - 1,01 n - 1 - 263

lim n → ∞ ⁡ y n → ∞

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