Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.

c) x   d x + y e - x   d y = 0 , y 0 = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para usarmos a condição inicial y 0 = 1 para encontrarmos a solução da equação.

Mas como podemos fazer isso?

Como estamos estudando equações diferenciais, vamos manipular algebricamente a expressão dada com derivadas e integrais para, dessa forma, encontrarmos constantes.

Daí, vamos usar a condição inicial para encontrarmos a solução da equação, belezinha?

Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... temos que:

x   d x + y e - x   d y = 0 ∴

Separando a equação e integrando, temos:

y e - x   d y = - x   d x ∴

∫ y d y = ∫ - x e x d x

Passo 3

Lembrando que podemos resolver ∫ - x e x d x através da integração por partes, a qual resulta em:

∫ - x e x d x = - x e x - ∫ e x d x

Passo 4

Assim, do Passo 2 temos:

y 2 2 + c ' = - x e x - ∫ e x d x ∴

y 2 2 + c ' = - x e x + e x + c ' ' ∴

y = ± 2 e x - 2 x e x + c

Passo 5

Dessa forma, aplicando a condição inicial y 0 = 1 , temos:

1 = ± 2 e 0 - 2 0 e 0 + c ∴

1 = ± 2 + c

Nessa expressão, o único resultado possível ocorre com c = - 1 e com sinal positivo na raiz, portanto:

y = 2 e x - 2 x e x - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = 2 e x - 2 x e x - 1

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