Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp 70 exercício 2

Resolva a equação de Diferença dada em função do valor inicial y 0 e descreva seu comportamento quando n

y n + 1 = n + 3 n + 1 y n

Passo 1

Essa é uma equação da diferença onde para cada termo temos uma relação, vamos ver como fica para os primeiros

n = 0 y 1 = 3 1 y 0

n = 1 y 2 = 4 2 y 1 y 2 = 4 2 3 1 y 0 = 4.3 2.1 y 0

n = 2 y 3 = 5 3 y 2 y 2 = 5 3 4.3 2.1 y 0 = 5.4 2.1 y 0

n = 3 y 4 = 6 4 y 3 y 3 = 6 4 5.4 2.1 y 0 = 6.5 2.1 y 0

n = 4 y 5 = 7 5 y 4 y 4 = 7 5 6.5 2.1 y 0 = 7.6 2.1 y 0

Então podemos perceber que,

y n = n + 3 n + 2 2.1 y 0

Meio louco isso né? Mas repara que temos sempre um sobre 2 e em cima sempre um produto de consecultivos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver agora como se comporta essa função quando n

lim n n + 3 n + 2 2.1 y 0 = . y 0 =

Resposta

y n = n + 3 n + 2 2.1 y 0

lim n y n =

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