Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Um tanque de 12 litros de água contém 1   k g de sal. Você o irriga com água limpa a uma taxa de 2 litros por minuto e deixa a mistura escoar com a mesma vazão.

b) Quanto tempo levará para que a quantidade de sal caia pela metade.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado no deu uma aplicação mais prática das nossas equações diferenciais. Temos um tanque de 12 litros, e esse volume é mantido constante ao longo do tempo (pois o volume d’água que sai é igual ao que entra).

Inicialmente, são adicionados 1 k g de sal no tanque e ao longo do tempo, água limpa é adicionada no tanque enquanto a água “salgada” sai dele. É dito que a água limpa entra em uma taxa de 2   litros por minuto, e a água “salgada” sai na mesma taxa.

O objetivo do exercício é que a gente determine em quanto tempo a quantidade de sal vai diminuir pela metade. Pra descobrir isso vamos precisar encontrar uma fórmula Q ( t ) que expressa a quantidade de sal em função do tempo e, em seguida, encontrar o tempo t para metade da quantidade inicial de sal.

Vamos lá!

Passo 2

Então, o sal está saindo do tanque junto com a água a uma taxa de 2   litros por minuto. O grande ponto é quanto de sal está diluído em 2 litros de água.

Pra responder isso precisamos pensar que o sal deve-se diluir homogeneamente no tanque. Assim, se em um dado instante t tem uma quantidade Q ( t ) de sal dentro do tanque, ele deve estar todo diluído de modo que sua concentração vale:

C = Q t 12

(Importante destacar que o denominador é sempre 12 porque o volume do tanque não muda).

Assim, em um intervalo de tempo d t deve sair do tanque uma quantidade de água dada por:

- 2   d t

Logo a quantidade de sal, d Q , que deixa o tanque no intervalo de tempo d t , vale:

d Q = - 2 d t ⋅ Q t 12

Ou seja:

d Q d t = - 1 6 ⋅ Q t

Perfeito!

Passo 3

Agora precisamos resolver a EDO:

d Q d t = - 1 6 ⋅ Q t

Para encontrar uma expressão pra quantidade de sal dentro do tanque, Q ( t ) , em função do tempo.

Manipulando a EDO, temos:

d Q Q t = - 1 6 d t

Integrando dos dois lados temos:

∫ 1 Q ⋅ d Q = - 1 6 ∫ d t  

ln ⁡ Q = - t 6 + k

Logo:

Q t = e - t 6 + k

= e k ⋅ e - t 6

Mas, quando t = 0 , temos Q t = 1 . Assim:

Q 0 = e k ⋅ e 0 = 1

∴ e k = 1 ⇒ k = 0

Ou seja:

Q t = e - t 6

Prontinho, encontramos uma expressão pra Q ( t ) em função do tempo t em minutos.

Passo 4

Só falta a gente descobrir o tempo necessário para que a quantidade de sal caia pela metade. O enunciado nos deu uma quantidade inicial de 1   k g de sal, então a gente quer saber o tempo quando Q = 0,5   k g , ou seja:

1 2 = e - t 6

Calculando o logaritmo natural do dos lados, temos:

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ e - t 6

Pela propriedade dos logaritmos:

ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 = - t 6

Mas ln ⁡ 1 = 0 , então:

- ln ⁡ 2 = - t 6

t = 6 ln ⁡ 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

t = 6 ln ⁡ 2

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