Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2011.2, Questão 1

Resolva as equações de diferenças abaixo:

(a)

y n + 1 = y n 2 - 2 n y n + 2 ,           y 0 = 1

(b)

y n + 2 = 4 y n + 1 - 4 y n + 2 n ,           y 0 = 0 ,             y 1 = 0

Passo 1

  1. Para resolver essa equação de diferenças, vamos ver como fica a equação para cara n natural.
  2. y 1 = y 0 2 + 2 = 1 + 2 = 3

    y 2 = y 1 2 - 2 y 1 + 2 = 9 - 6 + 2 = 5

    y 3 = y 2 2 - 4 y 2 + 2 = 25 - 20 + 2 = 7

    y 4 = y 3 2 - 6 y 3 + 2 = 49 - 42 + 2 = 9

    y 5 = y 4 2 - 8 y 4 + 2 = 81 - 72 + 2 = 11

    Pelo padrão, da pra notar que a solução vai ter a cara de

    y n = 2 n + 1

    Substituindo na equação, temos

    2 n + 1 + 1 = 2 n + 1 2 - 2 n 2 n + 1 + 2

    Temos que mostrar que essa igualdade é valida para todo n natural.

    Então, desenvolvemos os dois lados e verificamos que são iguais.

    O lado esquerdo fica

    2 n + 1 + 1 = 2 n + 2 + 1 = 2 n + 3

    O lado direito fica

    2 n + 1 2 - 2 n 2 n + 1 + 2 = 4 n 2 + 4 n + 1 - 4 n 2 - 2 n + 2 = 2 n + 3

    Logo, temos que a solução da equação fica

    y n = 2 n + 1

    Passo 2

  3. Bom, para resolver essa equação de diferenças temos que resolver a equação homogênea associada e depois a solução particular.

A equação homogênea associada é dada por

y n + 2 = 4 y n + 1 - 4 y n

Cuja solução é dada pela equação característica associada

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

λ 1 = λ 2 = 2

Portanto, a solução é

y h n = C 1 2 n + C 2 n 2 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar a solução particular procuramos soluções da forma

y p n = C n 2 2 n

Substituindo na equação, temos

C n + 2 2 2 n + 2 = 4 C n + 1 2 2 n + 1 - 4 C n 2 2 n + 2 n

4 C n 2 + 4 n + 4 = 8 C n 2 + 2 n + 1 - 4 C n 2 + 1

8 C = 1

C = 1 8

Portanto, a solução particular é

y p n = n 2 2 n 8

E a solução geral é dada por

y n = C 1 2 n + C 2 n 2 n + n 2 2 n 8

Passo 3

Usando as condições iniciais

y 0 = 0 ,             y 1 = 0

Temos que

0 = y 0 = C 1

E

0 = y 1 = 2 C 2 + 1 4 C 2 = - 1 8

Logo

y n = - n 2 n 8 + n 2 2 n 8

Resposta

(a)

y n = 2 n + 1

(b)

y n = - n 2 n 8 + n 2 2 n 8

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