Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

Ver Teoria

Enunciado

Resolva as equações de diferenças abaixo:

(b)

y n + 2 = 4 y n + 1 - 4 y n + 2 n ,           y 0 = 0 ,             y 1 = 0

Passo 1

Bom, para resolver essa equação de diferenças temos que resolver a equação homogênea associada e depois a solução particular.

A equação homogênea associada é dada por

y n + 2 = 4 y n + 1 - 4 y n

Cuja solução é dada pela equação característica associada

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

⇒ λ 1 = λ 2 = 2

Portanto, a solução é

y h n = C 1 2 n + C 2 n 2 n

Passo 2

Para achar a solução particular procuramos soluções da forma

y p n = C n 2 2 n

Substituindo na equação, temos

C n + 2 2 2 n + 2 = 4 C n + 1 2 2 n + 1 - 4 C n 2 2 n + 2 n

⇒ 4 C n 2 + 4 n + 4 = 8 C n 2 + 2 n + 1 - 4 C n 2 + 1

⇒ 8 C = 1

⇒ C = 1 8

Portanto, a solução particular é

y p n = n 2 2 n 8

E a solução geral é dada por

y n = C 1 2 n + C 2 n 2 n + n 2 2 n 8

Passo 3

Usando as condições iniciais

y 0 = 0 ,             y 1 = 0

Temos que

0 = y 0 = C 1

E

0 = y 1 = 2 C 2 + 1 4 ⇒ C 2 = - 1 8

Logo

y n = - n 2 n 8 + n 2 2 n 8

Resposta

(b)

y n = - n 2 n 8 + n 2 2 n 8

Exercícios de Livros Relacionados

A Equação de Diferenças Logística. Os problemas de 14 a 19 tratam da equação de diferenças (21) μ n + 1 = ρ ⋅ μ n ⋅ 1 - μ n .As soluções da Eq. (21) mudam de sequências convergentes para oscilações pe
Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 =- 0,5 y n + 6 Descreva comportamento da solução quando n→∞
Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 = n + 3 n + 1 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞
Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 = - 1 n + 1 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞
Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y 0 . y n + 1 =- 0,9 y n Descreva comportamento da solução quando n→∞