Exercícios Resolvidos de Equação de Diferenças

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Enunciado

Resolva o sistema de equações de diferenças abaixo:

a n + 1 = - 3 a n + 12 b n + 2 n         ,         b n + 1 = - 4 a n + 11 b n

a 0 = 1     ,         b 0 = 0

Passo 1

Bom, esse sistema que queremos resolver tem a seguinte forma:

X n + 1 = A ⋅ X n + 2 n 0

Onde

X n + 1 = a n + 1 b n + 1   ,   X n = a n b n

A = - 3 12 - 4 11

Como é um sistema não homogêneo temos que achar a solução do sistema homogêneo associado, uma solução particular e depois somar as duas.

A solução do sistema homogêneo é dada por

X n = A n X ( 0 )

Então para resolve-lo temos que achar os autovalores da matriz A .

det ⁡ A - λ I = 0

- 3 - λ 12 - 4 11 - λ = 0

- 3 - λ 11 - λ + 48 = 0

λ 2 - 8 λ + 15 = 0

λ 1 = 5   ,   λ 2 = 3

Logo, a matriz possui dois autovalores reais e diferentes.

Passo 2

Como a matriz possui autovalores reais e diferentes, temos que a matriz A n   é dada por

A n = λ 1 n I +   λ 1 n + λ 2 n λ 1 + λ 2 A - λ 1 I

A n = 5 n 0 0 5 n + 5 n + 3 n 8 - 8 12 - 4 6

A n = - 3 n 3 2 5 n + 3 n - 5 n + 3 n 2 7 4 ⋅ 5 n + 3 4 ⋅ 3 n    

Portanto a solução do sistema homogêneo associado é

X h n = - 3 n 3 2 5 n + 3 n - 5 n + 3 n 2 7 4 ⋅ 5 n + 3 4 ⋅ 3 n     ⋅ X ( 0 )

Agora só nos falta achar a solução particular do sistema.

Passo 3

Como a parte não homogênea é da forma 2 n 0 procuraremos soluções da forma

X p n = a n b

Portanto

a n + 1 0 = - 3 12 - 4 11 ⋅ a n b + 2 n 0

a n + 1 0 = - 3 a n + 12 b + 2 n - 4 a n + 11 b

Ai temos

a n + 1 = - 3 a n + 12 b + 2 n

- 4 a n + 11 b = 0 ⇒ b = 4 a n 11

Então

a n + 1 = - 3 a n + 48 a n 11 + 2 n

⇒ a n + 1 = 15 a n 11 + 2 n 4

⇒ a n a - 15 11 = 2 n

⇒ a n = 2 n a - 15 11

Então

X p n = 2 n a - 15 11 4 11 2 n a - 15 11 = 11 ⋅ 2 n 11 a - 15 2 n + 2 11 a - 15

Passo 4

Logo a solução geral do sistema é dada por

X n = - 3 n 3 2 5 n + 3 n - 5 n + 3 n 2 7 4 ⋅ 5 n + 3 4 ⋅ 3 n     ⋅ X 0 + 11 ⋅ 2 n 11 a - 15 2 n + 2 11 a - 15

Passo 5

Agora aplicando as condições iniciais

a 0 = 1     ,         b 0 = 0

Temos que

X 0 = a 0 b 0 = 1 0

Então

X n = - 3 n 3 2 5 n + 3 n - 5 n + 3 n 2 7 4 ⋅ 5 n + 3 4 ⋅ 3 n     ⋅ 1 0 + 11 ⋅ 2 n 11 a - 15 2 n + 2 11 a - 15

X n = - 3 n - 5 n + 3 n 2 + 11 ⋅ 2 n 11 a - 15 2 n + 2 11 a - 15

X n = - 3 n + 11 ⋅ 2 n 11 a - 15 - 5 n + 3 n 2 + 2 n + 2 11 a - 15

Resposta

X n = - 3 n + 11 ⋅ 2 n 11 a - 15 - 5 n + 3 n 2 + 2 n + 2 11 a - 15

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