Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

( a ) Apresente a extensão par da função

f x = 0 ,     0 ≤ x < 1 1 ,     1 ≤ x < 2 2 ,     2 ≤ x < 3

e esboce o gráfico no intervalo - 3 < x < 3 .

( b ) Encontre a série de Fourier da função acima e esboce o gráfico da série de Fourier no intervalo - 3 < x < 9 . (Sugestão: Use o Teorema de Convergência de Fourier)

( c ) Usando separação de variáveis encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

5 u t = u x x ,     0 < x < 3 ,       t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 3 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 3

onde f ( x ) está definida no item ( a ) .

Passo 1

( a ) Se a função f x tem extensão par, então ela é dada por

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2 2 ,       - 3 < x ≤ - 2   e   2 ≤ x < 3         e         f x + 6 = f ( x )

Sua ilustração no intervalo ( - 3,3 ) está a seguir:

Para não introduzir mais descontinuidades, podemos assumir f - 3 = f 3 = 2 . =)

Passo 2

( b ) O teorema da Convergência de Fourier diz que nos pontos de descontinuidade, a série deve convergir para os valores médios. Assim, nos saltos de descontinuidade entre 0 e 1 , a série converge para 1 / 2 ; nos saltos entre 1 e 2 , ela converge para 3 / 2 . Isto é ilustrado na figura abaixo.

Passo 3

Agora, vamos achar a série de fato:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

Como a extensão é par, não teremos a parte dos senos na série. Então vamos calcular os coeficientes necessários.

Primeiro, temos:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Mas o período neste caso é P = 2 L = 6 , logo L = 3 . Assim,

a 0 = 1 3 ∫ - 3 3 f x d x

Essa integral é a soma das áreas dos retângulos definidos pela função:

∫ - 3 3 f x d x = 2 + 1 + 1 + 2 = 6

Logo,

a 0 = 6 3 = 2

Passo 4

Ótimo, agora faltam os a n :

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = 1 3 ∫ - 3 3 f ( x ) cos ⁡ n π x 3 d x

Mas como f ( x ) e cos ⁡ n π x 3 são funções pares, seu produto também vai ser.

Logo:

a n = 2 3 ∫ 0 3 f ( x ) cos ⁡ n π x 3 d x

Como a função f ( x ) é 0 para x entre 0 e 1 , 1 para x entre 1 e 2 ; 2 para x entre 2 e 3

a n = 2 3 ∫ 1 2 cos ⁡ n π x 3 d x + ∫ 2 3 2 cos ⁡ n π x 3 d x

a n = 2 3 3 n π s e n   n π x 3 1 2 + 3 ⋅ 2 n π s e n   n π x 3 2 3

a n = 2 3 3 n π s e n 2 n π 3 - s e n n π 3 + 6 n π s e n n π - s e n 2 n π 3

Como s e n n π = 0

a n = 2 n π s e n 2 n π 3 - s e n n π 3 - 2 s e n 2 n π 3  

a n = - 2 n π s e n 2 n π 3 + s e n n π 3

Essa expressão é meio chatinha mas fica mais fácil de trabalhar se lembrarmos de arco duplo

s e n 2 a = 2 s e n a cos ⁡ a

No nosso caso

s e n 2 n π 3 = 2 s e n n π 3 cos ⁡ n π 3

Assim o nosso termo a n é dado por

a n = - 2 n π 2 s e n n π 3 cos ⁡ n π 3 + s e n n π 3

a n = - 2 n π s e n n π 3 2 cos ⁡ n π 3 + 1

Passo 5

Beleza, agora vamos olhar esse termo.

Para nos limitarmos à uma volta, temos que o argumento do seno tem de estar entre 0 e 2 π

0 < n π 3 ≤ 2 π → 0 ≤ n < 6

(lembrando que isso corresponde à n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 , 6)

De primeira, dá pra ver que quando esse seno na frente for 0 todo o a n é 0, ou seja,

s e n n π 3 = 0 → n π 3 = π   o u   2 π

n = 3   o u   6

Já quando o segundo cara em colchetes é 0 o a n é 0 também!

2 cos ⁡ n π 3 + 1 = 0 → cos ⁡ n π 3 = - 1 2 → n π 3 = 2 π 3   o u 4 π 3

n = 2   o u   4

Nesse intervalo os valores onde a n = 0 são dados por

n = 2,3 , 4   o u   6

Então para termos a n ≠ 0

n = 1 ,   5

Se ficar difícil visualizar assim, basta construir a seguinte tabela

Passo 6

Agora dá pra ter uma ideia do comportamento dessa série, né?

  • Para n = 1 + 6 k ( k ∈ Z + ):
  • a 1 + 6 k = 2 1 + 6 k π s e n 1 + 6 k π 3 2 cos ⁡ 1 + 6 k π 3 + 1

    Aqui podemos simplificar esse seno e cosseno usando adição de arcos

    s e n 1 + 6 k π 3 = s e n 1 π 3 + 2 π k = s e n π 3 cos ⁡ 2 π k + s e n 2 π k cos ⁡ π 3

    s e n 1 + 6 k π 3 = s e n π 3 1 + 0 cos ⁡ π 3

    s e n 1 + 6 k π 3 = s e n π 3 = 3 2

    E o cosseno fica

    cos ⁡ 1 + 6 k π 3 = cos ⁡ π 3 cos ⁡ 2 π k - s e n π 3 s e n 2 π k

    cos ⁡ 1 + 6 k π 3 = cos ⁡ π 3 1 - s e n π 3 0

    cos ⁡ 1 + 6 k π 3 = c o s π 3 = 1 2

    Assim o nosso termo fica

    a 1 + 6 k = 2 1 + 6 k π 3 2 2 1 2 + 1

    a 1 + 6 k = 2 3 1 + 6 k π

  • Para n = 5 + 6 k ( k ∈ Z + ):

a 5 + 6 k = 2 5 + 6 k π s e n 5 + 6 k π 3 2 cos ⁡ 5 + 6 k π 3 + 1

De novo, vamos fazer aquela trigonometria feliz

s e n 5 + 6 k π 3 = s e n 5 π 3 cos ⁡ 2 π k + s e n 2 π k cos ⁡ 5 π 3

s e n 5 + 6 k π 3 = s e n 5 π 3 = - 3 2

E no cosseno

cos ⁡ 5 + 6 k π 3 = cos ⁡ 5 π 3 cos ⁡ 2 π k - s e n 5 π 3 s e n 2 π k

cos ⁡ 5 + 6 k π 3 = cos ⁡ 5 π 3 = 1 2

E o nosso termo fica

a 4 + 5 k = 2 5 + 6 k π - 3 2 2 1 2 + 1

a 4 + 5 k = - 2 3 5 + 6 k π

Passo 7

Assim, o somatório de cossenos se torna:

∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 3 = ∑ k = 1 ∞ a 1 + 6 k cos ⁡ ( 1 + 6 k ) π x 3 + ∑ k = 1 ∞ a 5 + 6 k cos ⁡ ( 5 + 6 k ) π x 3

∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 1 + 6 k π cos ⁡ 1 + 6 k π x 3 - ∑ k = 1 ∞ 2 3 5 + 6 k π cos ⁡ ( 5 + 6 k ) π x 3

E escrevemos

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 3

f x = 1 + ∑ k = 1 ∞ 2 3 1 + 6 k π cos ⁡ 1 + 6 k π x 3 - ∑ k = 1 ∞ 2 3 5 + 6 k π cos ⁡ ( 5 + 6 k ) π x 3

Passo 8

( c ) Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , t = X x T t

Note que se trata de uma equação de calor.

Com a separação, teremos:

u t x , t = X x T ' ( t )

u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Portanto, nossa equação se torna

5 u t = u x x

5 X x T ' t = X ' ' x T ( t )

5 T ' t T t = X ' ' ( x ) X x = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em t ):

T ' t + 1 5 λ T t = 0 X ' ' x + λ X x = 0

Passo 9

Agora, vamos olhar para as condições iniciais:

u x 0 , t = 0 → X ' 0 T t = 0       ( I )

u x 3 , t = 0 → X ' 3 T t = 0       ( I I )

u x , 0 = f x ,   0 ≤ x ≤ 3 → U x T 0 = f x         ( I I I )

De ( I ) e ( I I ) , se T t = 0 , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em u x , t = X x T t = 0 , não atenderia à condição ( I I I ) . Logo, T t ≠ 0 .

Passo 10

Neste caso, nos resta admitir o seguinte:

X ' 0 = 0

X ' 3 = 0

Assim, formamos o seguinte problema:

X ' ' x + λ X x = 0 X ' 0 = X ' 3 = 0

Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± i λ

E a solução geral é da forma

X x = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

Passo 11

Derivando X ( x ) e aplicando as condições de contorno:

X ' x = - C 1 λ  sen ⁡ λ x + C 2 λ  cos ⁡ λ x

X ' 0 = C 2 λ = 0 → C 2 = 0

X ' 3 = - C 1 λ  sen ⁡ 3 λ = 0 →  sen ⁡ 3 λ = 0

Note que na última equação não podemos ter C 1 = 0 (se não teríamos X x = 0 ). Então, precisamos de  sen ⁡ 3 λ = 0 . Como C 2 = 0 , sobra

X x = C 1 cos ⁡ λ x

Passo 12

Como queremos  sen ⁡ 3 λ = 0 , basta fazer 3 λ = n π ,   n ∈ Z + , de modo que obtemos λ n = n π 3 2 . Estes são nossos autovalores!

Portanto, ficamos com

X x = C 1 cos ⁡ n π x 3

que são nada mais nada menos que nossas autofunções!

Passo 13

Agora que já conhecemos os autovalores λ n = n π 3 2 , vamos voltar pra equação em t :

T ' t + 1 5 λ T t = 0

d T d t = - 1 5 λ T

∫       d T T = - 1 5 λ ∫     d t

ln ⁡ T = - 1 5 λ t

T t = e - λ t 5

Fácil, né? Vamos substituir λ por λ n :

T t = e - n π 3 2 t 5

T t = e - n π 2 t 45

E, assim, uma solução deve ser

u x , t = X x T t

u x , t = C 1 cos ⁡ n π x 3 e - n π 2 t 45

Passo 14

Se qualquer C 1 cos ⁡ n π x 3 e - n π 2 t 45 é solução, então uma combinação linear dessas soluções (para diferentes valores de n ) também é solução:

u x , t = ∑ n = 1 ∞   C n cos ⁡ n π x 3 e - n π 2 t 45

Mas, como a condição ( I I I ) precisa ser atendida:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞   C n cos ⁡ n π x 3 = f ( x )

Concluímos que C n são os próprios coeficientes da série de Fourier obtidos.

u x , t = ∑ n = 1 ∞   C n cos ⁡ n π x 3 e - n π 2 t 45 ,       C n = - 2 3 n π ,   n = 1 + 6 k 2 3 n π ,   n = 5 + 6 k 0 ,     r e s t o

Resposta

(a)

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2 2 ,       - 3 < x ≤ - 2   e   2 ≤ x < 3         e         f x + 6 = f ( x )

(b)

f x = 1 + ∑ k = 1 ∞ 2 3 1 + 6 k π cos ⁡ 1 + 6 k π x 3 - ∑ k = 1 ∞ 2 3 5 + 6 k π cos ⁡ ( 5 + 6 k ) π x 3

(c)

u x , t = ∑ n = 1 ∞   C n cos ⁡ n π x 3 e - n π 2 t 45 ,       C n = - 3 1 + 3 n π ,   n = 2 + 6 k 3 2 + 3 n π ,   n = 4 + 6 k 0 ,     r e s t o ,   k   i n t e i r o   p o s i t i v o

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