Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

( a ) Apresente a extensão par e periódica de período P = 2 da função f x =   1   onde     0 < x < 1 e esboce o gráfico no intervalo - 1 < x < 1 .

( b )   Encontre a série de Fourier da função acima.

( c )   Usando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

u t = u x x ,     0 < x < 1 ,     t > 0 u x 0 , t = 0 ,     u x 1 , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = f x ,     0 ≤ x ≤ 1

onde f é a função definida no item ( a ) .

Passo 1

( a ) Se a função f x = 1 ,   0 < x < 1 é par, então f x = 1 ,   - 1 < x < 0 . Bom, assumimos então que f - 1 = f 0 = f 1 = 0 . E como o período é P = 2 , vemos que f 1 = f - 1 + 2 = f ( - 1 ) . Um esboço é ilustrado abaixo.

Passo 2

( b ) Para encontrar a série de Fourier, vamos seguir os passos básicos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

Onde 2 L = P é o período; portanto, L = 1 .

Passo 3

Vamos avaliar os coeficientes da série:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a 0 = ∫ - 1 1 f x d x

a 0 = 1 . 1 - - 1 = 2

Note que as descontinuidades de f ( x ) não afetam a integral.

Agora, temos:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

a n = ∫ - 1 1 cos ⁡ n π x d x

a n = s e n n π x n π - 1 1

a n = 0

Além disso:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = ∫ - 1 1 sen ⁡ n π x d x

b n = - c o s n π x n π - 1 1

b n = 0

Passo 4

Combinando os resultados, a série de Fourier é simplesmente

f x = a 0 2

f x = 1

Passo 5

( c ) Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , t = X x T t

Note que se trata de uma equação de calor.

Com a separação, teremos:

u t x , t = X x T ' ( t )

u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Portanto, nossa equação se torna

u t = u x x

X x T ' t = X ' ' x T ( t )

T ' t T t = X ' ' ( x ) X x = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em t ):

T ' t + λ T t = 0 X ' ' x + λ X x = 0

Passo 6

Agora, vamos olhar para as condições iniciais:

u x 0 , t = 0 → X ' 0 T t = 0       ( I )

u x 1 , t = 0 → X ' 1 T t = 0       ( I I )

u x , 0 = f x ,   0 ≤ x ≤ 1 → U x T 0 = f x = 1 , - 1 < x < 0   o u   0 < x < 1 0 ,     x = ± 1 ,   0         ( I I I )

De ( I ) e ( I I ) , se T t = 0 , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em u x , t = X x T t = 0 , não atenderia à condição ( I I I ) . Logo, T t ≠ 0 .

Passo 7

Neste caso, nos resta admitir o seguinte:

X ' 0 = 0

X ' 1 = 0

Assim, formamos o seguinte problema:

X ' ' x + λ X x = 0 X ' 0 = X ' 1 = 0

Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± i λ

E a solução geral é da forma

X x = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

Passo 8

Derivando X ( x ) e aplicando as condições de contorno:

X ' x = - C 1 λ  sen ⁡ λ x + C 2 λ  cos ⁡ λ x

X ' 0 = C 2 λ = 0 → C 2 = 0

X ' 1 = - C 1 λ  sen ⁡ λ = 0 →  sen ⁡ λ = 0

Note que na última equação não podemos ter C 1 = 0 (se não teríamos X x = 0 ). Então, precisamos de  sen ⁡ λ = 0 . Como C 2 = 0 , sobra

X x = C 1 cos ⁡ λ x

Passo 9

Como queremos  sen ⁡ λ = 0 , basta fazer λ = n π ,   n ∈ Z + , de modo que obtemos λ n = n π 2 . Estes são nossos autovalores!

Portanto, ficamos com

X x = C 1 cos ⁡ n π x

que são nada mais nada menos que nossas autofunções!

Passo 10

Agora que já conhecemos os autovalores λ n = n π 2 , vamos voltar pra equação em t :

T ' t + λ T t = 0

d T d t = - λ T

∫       d T T = - λ ∫     d t

ln ⁡ T = - λ t

T t = e - λ t

Fácil, né? Vamos substituir λ por λ n :

T t = e - n π 2 t

E, assim, uma solução deve ser

u x , t = X x T t

u x , t = C 1 cos ⁡ n π x e - n π 2 t

Passo 11

Agora vem o pulo do gato. Se qualquer C 1 cos ⁡ n π x é solução para X ( x ) , então uma combinação linear dessas soluções (para diferentes valores de n ) também é solução:

X x = d 0 2 + ∑ n = 1 ∞ d n   cos ⁡ n π x

Assim:

u x , t = d 0 2 + ∑ n = 1 ∞ d n  cos ⁡ n π x e - n π 2 t

Mas os coeficientes d n   são justamente os coeficientes da série de Fourier de f ( x ) : d n = a n .

Lembre que a 0 = 2 e a 1 = a 2 = … = 0 , então d 0 = 2 e d 1 = d 2 = … = 0 . Logo, sobra um termo apenas:

u x , t = d 0 2 = 1

Na realidade, a solução é exatamente u x , t = f ( x ) .

Resposta

u x , t = f ( x )

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