Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

a )

i . Determine a extensão ímpar periódica de período P = 10 da função f x = x para 0 < x < 5 esboçando o gráfico no intervalo - 15,15

i i . Encontre a série de Fourier de senos da extensão ímpar periódica da função f x = x para 0 < x < 5

b ) Resolva o seguinte problema de valor de contorno usando o método de separação de variáveis justificando cada passo detalhadamente:

10 u t = u x x ,     0 ≤ x ≤ 5 ,     t > 0 ; u 0 , t = u 5 , t = 0 ;                                       u x , 0 = x .                                

Passo 1

a )   i .

Vamos começar fazendo o gráfico da função estendida, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

O próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Cuidado com os pontos de descontinuidade! Temos que levar eles junto.

Beleza, mas isso ai seria uma extensão par, não é? Pra fazermos uma extensão ímpar temos que rebater essa parte azul no eixo x , ou seja, jogar ela para baixo:

Certo, o período da função que queremos é então essa parte azul mais a vermelha! Como esse é o padrão que se repete, vamos copiá-lo para a direita, olha só:

Pronto, temos então a função estendida no intervalo de - 15 a   15 , como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Mais uma vez, lembre-se de levar os pontos de descontinuidade junto nesse passo a passo, ok?

Passo 2

Agora vamos fazer essa extensão matematicamente.

A definição de uma função ímpar diz que

f - x = - f - ( - x )

Escrevemos f - porque estamos falando da extensão de f , ok? Como a extensão tem período 10 , podemos dizer que:

f - ( x ) = f - ( x + 10 )

Beleza, vamos fazer isso aí. Como o período é 10 , precisamos definir a função em ( - 5,5 ) e repetir esse padrão. Está faltando a definição de f - entre - 5 e 0 .

Para 0 < x < 5 : f - x = f x = x

Essa é a equação da parte vermelha.

Para - 5 < x < 0 : f - x = - f - x = - ( - x ) = x

Essa é a equação da parte verde. Se você se confundir com a definição de função ímpar, dá uma olhada no gráfico. Nesse caso, é até mais fácil.

Não podemos nos esquecer de que na origem e em x = L = 5 a função deve valer zero em uma extensão ímpar, então está tudo certo aqui.

Temos portanto a seguinte extensão:

f - x = x ,       s e - 5 < x < 5 0 ,       s e   x = - 5 ; 5

Como a função é periódica, isso se repete

f - ( x ) = f - ( x + 10 )

Passo 3

a )   i i .

Essa função tem período T = 2 L = 10 , logo L = 5 . Então vamos calcular os coeficientes. Troque d n por b n se você achar mais conveniente para a série de senos! =)

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 5 ∫ - 5 5 x sen ⁡ n π x 5 d x

Para resolver essa integral LINDA, vamos fazer integração por partes. Lembra?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O ideal nesse caso é a gente chamar de u = x → d u = d x , então d v = sen ⁡ n π x 5 → v = - 5 n π cos ⁡ n π x 5 . Seguindo:

b n = 1 5 ∫ - 5 5 x sen ⁡ n π x 5 d x = 1 5 - 5 x n π cos ⁡ n π x 5 - 5 5 + ∫ - 5 5 5 n π cos ⁡ n π x 5 d x

b n = - x n π c o s n π x 5 - 5 5 + 5 n π 2 s e n n π x 5 - 5 5

b n = - 1 n π 5 c o s ⁡ ( n π ) - - 5 c o s ⁡ ( - n π ) - 5 n π 2 [ sen ⁡ n π - sen ⁡ - n π ]

Passo 4

Como cos ⁡ - n π = cos ⁡ n π = - 1 n e sen ⁡ - n π = sen ⁡ n π = 0 :

b n = - 10 - 1 n n π

b n = 10 . - 1 n + 1 n π

E aí a série fica assim

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x 5

Portanto:

f x = ∑ n = 0 ∞ 10 . - 1 n + 1 n π sen ⁡ n π x 5

Passo 5

b )

Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

u x , t = X x T t

Note que se trata de uma equação de calor.

Com a separação, teremos:

u t x , t = X x T ' ( t )

u x x x , t = X ' ' x T ( t )

Portanto, nossa equação se torna

10 u t = u x x

10 X x T ' t = X ' ' x T ( t )

10 T ' t T t = X ' ' ( x ) X x = - λ

E isso origina duas equações (uma em x e outra em t ):

T ' t + 1 10 λ T t = 0 X ' ' x + λ X x = 0

Passo 6

Agora, vamos olhar para as condições iniciais:

u 0 , t = 0 → X 0 T t = 0       ( I )

u 5 , t = 0 → X 5 T t = 0       ( I I )

u x , 0 = 25 → U x T 0 = 25         ( I I I )

De ( I ) e ( I I ) , se T t = 0 , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em u x , t = X x T t = 0 , não atenderia à condição ( I I I ) . Logo, T t ≠ 0 .

Passo 7

Neste caso, nos resta admitir o seguinte:

X 0 = 0

X 5 = 0

Assim, formamos o seguinte problema:

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X 5 = 0

Buscando uma solução não-trivial ( X x ≠ 0 ) , vamos avaliar a equação característica:

X ' ' x + λ X x = 0

r 2 + λ = 0

r = ± i λ

E a solução geral é da forma

X x = C 1 cos ⁡ λ x + C 2 sen ⁡ λ x

Passo 8

Aplicando as condições de contorno:

X 0 = C 1 = 0

X 5 = C 2  sen ⁡ 5 λ = 0 →  sen ⁡ 5 λ = 0

Note que na última equação não podemos ter C 2 = 0 (se não teríamos X x = 0 ). Então, precisamos de sen ⁡ 5 λ = 0 . Como C 1 = 0 , sobra

X x = C 2 sen ⁡ λ x

Passo 9

Como queremos sen ⁡ 5 λ = 0 , basta fazer 5 λ = n π ,   n ∈ Z + , de modo que obtemos λ n = n π 5 2 . Estes são nossos autovalores!

Portanto, ficamos com

X n x = C 2 sen ⁡ n π x 5

que são nada mais nada menos que nossas autofunções!

Passo 10

Agora que já conhecemos os autovalores λ n = n π 5 2 , vamos voltar pra equação em t :

T ' t + 1 10 λ T t = 0

d T d t = - 1 10 λ T

∫       d T T = - 1 10 λ ∫     d t

ln ⁡ T = - 1 10 λ t

T t = e - λ t 10

Fácil, né? Vamos substituir λ por λ n :

T n t = e - n π 5 2 t 10    

E, assim, uma solução deve ser

u n x , t = X n x T n t

u n x , t = C 2 sen ⁡ n π x 5 e - n π 5 2 t 10    

Passo 11

Mas perceba só, se u ( x , t ) é solução, qualquer combinação linear de u também será solução. Isto é, uma solução geral pode ser

u x , t = ∑ n = 1 ∞ d n sen ⁡ n π x 5 e - n π 5 2 t 10    

Beleza, mas e agora, os coeficientes...? Bom, aí é só aplicar aquela condição ( I I I ) , lembra?

u x , 0 = U x T 0 = x  

Então, com t = 0 :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ d n sen ⁡ n π x 5 = x

Na letra a , já achamos a série de Fourier da extensão ímpar de x . Isso nos diz que esse d n é o coeficiente da série de Fourier que achamos lá na letra a

d n = 10 . - 1 n + 1 n π

E, finalmente, a solução é dada por

u x , t = ∑ n = 0 ∞ 10 . - 1 n + 1 n π sen ⁡ n π x 5 e - n π 5 2 t 10    

Resposta

u x , t = ∑ n = 0 ∞ 10 . - 1 n + 1 n π sen ⁡ n π x 5 e - n π 5 2 t 10    

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