Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

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Enunciado

Encontre a solução u : 0,4 × 0 , + ∞ → R do seguinte problema

u x x - u t = u ,     x , t ∈ 0,4 × 0 , + ∞ u 0 , t = 0 ,       u x 4 , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     x ∈ 0,4

Onde f : 0,4 →   R é a função

f x = x     s e   0 ≤ x < 2 0   s e   2 ≤ x < 4

Passo 1

Essa EDP trata-se de uma equação de calor homogênea e para resolve-la temos que primeiro utilizar o método de separação de variáveis.

u = X x T ( t )

Substituindo na equação teremos

X ' ' x T t - X x T ' t = X x T t ⇔ X ' ' x X x = T ' t T t + 1

Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de t e o lado direito não depende de x , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real λ .

X ' ' x X x = T ' t T t + 1 = - λ

Disso obtemos as duas EDOs

X ' ' x = - λ X x ,     T ' t = - ( λ + 1 ) T ( t )

Passo 2

Vamos analisar as condições de contorno

u 0 , t = X 0 T t = 0

u x 4 , t = X ' 4 T t = 0

Como essas igualdades devem valer para todo t no nosso intervalo.

X 0 = X ' 4 = 0

Isso nos dá um PVI com a EDO de 2ª ordem em x que encontramos no passo anterior.

Passo 3

Como temos uma equação de calor homogênea, nós já sabemos de cara que só teremos soluções não triviais para Δ < 0 :

X ' ' x = - λ X x → X ' ' x + λ X x = 0

Fazendo o polinômio característico:

r 2 + λ = 0

  r = - λ = i λ

Neste caso, só teremos solução não trivial se λ > 0 :

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Aplicando valores iniciais:

X 0 = c 1 = 0

X ' 4 = λ c 2 cos ⁡ 4 λ = 0

Como não queremos a solução trivial, temos que:

cos ⁡ 4 λ = 0

Para isso:

4 λ = k π 2 ,   k = 2 n - 1 ,   n = 1,2 , 3 …

λ = ( 2 n - 1 ) π 8

λ n = 2 n - 1 π 8 2

X n x = sen ⁡ ( | λ n | x ) = sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x

Passo 4

Vamos resolver a equação de T que encontramos no passo 1 utilizando esse λ n

T ' t = - 2 n - 1 π 8 2 + 1 T ( t )

1 T d T d t = - 2 n - 1 π 8 2 + 1

∫ 1 T d T = ∫ - 2 n - 1 π 8 2 + 1 d t

ln ⁡ T = - 2 n - 1 π 8 2 + 1 t

T n t = c n e - 2 n - 1 π 8 2 + 1 t

Com isso obtemos a seguinte solução

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - 2 n - 1 π 8 2 + 1 t sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x

Passo 5

Vamos utilizar a última condição inicial agora

u x , 0 = ∑ m = 1 ∞ c n sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x = f ( x )

Caímos numa série de Fourier em senos e precisamos usar aquelas formas que já conhecemos para encontrar os coeficientes.

a 0 = 2 4 ∫ 0 4 f ( x ) d x = 2 4 ∫ 0 2 x d x + 2 4 ∫ 2 4 0 d x = 1 2 x 2 2 0 2 = 4 4 = 1  

c n = 2 4 ∫ 0 4 f x sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x d x = 1 2 ∫ 0 2 x sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x d x

Aqui vamos ter que fazer uma integração por partes. Lembra da fórmula? Olha só:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando:

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x d x → v = - cos ⁡ 2 n - 1 π 8 x 8 π 2 n - 1

Substituindo:

1 2 ∫ 0 2 x sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x d x = 1 2 - x cos ⁡ 2 n - 1 π 8 x 8 π 2 n - 1 0 2 + 8 π 2 n - 1 ∫ 0 2 cos ⁡ 2 n - 1 π 8 x d x

c n = 1 2 - 2 cos ⁡ 2 n - 1 π 8 2 8 π 2 n - 1 ± 0 cos ⁡ 0 8 π 2 n - 1 + 8 π 2 n - 1 sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x 8 π 2 n - 1 0 2

c n = 1 2 - 2 cos ⁡ 2 n - 1 π 4 8 π 2 n - 1 + 8 2 π 2 2 n - 1 2 sen ⁡ 2 n - 1 π 8 2 - sen ⁡ 0

c n = - cos ⁡ 2 n - 1 π 4 8 π 2 n - 1 + 32 π 2 2 n - 1 2 sen ⁡ 2 n - 1 π 4

c n = 32 π 2 2 n - 1 2 - cos ⁡ 2 n - 1 π 4 π 2 n - 1 4 + sen ⁡ 2 n - 1 π 4

Logo nossa solução será

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - 2 n - 1 π 8 2 + 1 t sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x

Onde:

c n = 32 π 2 2 n - 1 2 - cos ⁡ 2 n - 1 π 4 π 2 n - 1 4 + sen ⁡ 2 n - 1 π 4

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - 2 n - 1 π 8 2 + 1 t sen ⁡ 2 n - 1 π 8 x

Onde:

c n = 32 π 2 2 n - 1 2 - cos ⁡ 2 n - 1 π 4 π 2 n - 1 4 + sen ⁡ 2 n - 1 π 4

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