Exercícios Resolvidos de Equação do Calor – Homogênea

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 326. Exercício 7

Encontre a solução do problema de condução de calor

100 u x x = u t           0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0           u 1 , t = 0                       t > 0

u x , 0 = sen ( 2 π x ) - sen ( 5 π x )         0 x 1

Passo 1

Vamos fazer a separação de variáveis. Vamos supor que a função u ( x , t ) que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável x por outra apenas da variável t , dessa forma:

u x , t = X x T ( t )

Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, u ( x , t ) tem que satisfazer a equação de calor, não é?

100 u x x = u t

(Nesse caso, temos α = 10 .) Então, vamos substituí-la ai! Temos:

100 X ' ' x T t = X x T ' t

Repare que, derivando u ( x , t ) em relação a t , X ( x ) é vista como constante, o mesmo ocorre para t   quando derivamos em relação a x . Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

X ' ' x X x = 1 100 T ' t T t

Como essa igualdade deve valer para todo x e para todo t e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:

X ' ' x X x = 1 100 T ' t T t = - λ

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

X ' ' + λ X = 0 T ' + 100 λ T = 0

Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis u x , t = X x T ( t ) :

u 0 , t = 0                   X 0 T t 0 = 0                 X 0 = 0

Veja que se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x 0 = 0 , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter X 0 = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u 1 , t = 0                   X 1 T t 0 = 0                 X 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver o problema de contorno.

Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!

X ' ' + λ X = 0

X 0 = 0

X 1 = 0

Bom esse é um caso especial, as condições de Dirichlet homogêneas, não é? Nós já falamos sobre a solução desse problema na teoria desse capítulo, mas vamos fazer aqui passo a passo.

Temos a seguinte equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Caso 1: > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X 1 = c 1 e - λ + c 2 e - - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e - λ - c 1 e - - λ = 0

c 1 ( e - λ - e - - λ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 = 0

X 1 = c 1 + c 2 = 0

Isso nos dá

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos β x + c 2 e α x sen β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos λ x + c 2 sen λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 1 = 0

X 0 = c 1 cos 0 + c 2 sen 0 = 0

c 1 = 0

X 1 = c 1 cos λ + c 2 sen λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

λ = n π             n = 1,2 , 3

λ = n π

λ n = n π 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen n π x                 n = 1,2 , 3

Agora vamos resolver o problema em t .

Passo 3

Tendo o valor de λ n , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + 100 λ T = 0

Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:

T t = e - 100 λ t

Substituindo λ :

T n t = e - 100 π 2 n 2 t  

Sabendo que u x , t = X x . T ( t ) , podemos escrever:

u n x , t = sen ( n π x ) e - 100 π 2 n 2 t           n = 1,2 , 3

Passo 4

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que conbinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = n = 1 b n sen ( n π x )   e - 100 π 2 n 2 t  

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse b n de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:

u x , 0 = sen ( 2 π x ) - sen ( 5 π x )        

Veja que, substituindo t = 0 na série, temos u ( x , 0 ) :

u x , 0 = n = 1 b n sen ( n π x ) c n   = sen ( 2 π x ) + c 2 - sen 5 π x c 5        

Bom, se você reparar, aqui não precisamos nem calcular os b n ’s pela integral que dá os coeficientes de Fourier.

Chamando o termo geral da série de c n , vemos que u ( x , 0 ) é a soma de c 2 com c 5 , ou seja, para valores diferentes de n = 2 e n = 5 , os termos da série são nulos. Nós podemos fazer essa comparação porque a u ( x , t ) é função de senos.

Beleza, então temos que:

b 2 sen ( 2 π x ) = 1 sen ( 2 π x )                   b 2 = 1

b 5 sen ( 5 π x ) = - 1 sen ( 5 π x )                   b 5 = - 1

Os outros b n ’s são zero, então a série que procuramos é finita e só possui dois termos:

u x , t = n = 1 b n sen ( n π x ) e - 100 π 2 n 2 t   = b 2 sen ( 2 π x ) e - 400 π 2 t + b 5 sen ( 5 π x ) e - 2500 π 2 t

u x , t = sen ( 2 π x ) e - 400 π 2 t - sen ( 5 π x ) e - 2500 π 2 t

Se você calculasse os b n ’s por integração, teria muito mais trabalho!

Resposta

u x , t = sen ( 2 π x )   e - 400 π 2 t - sen ( 5 π x ) e - 2500 π 2 t

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