Exercícios Resolvidos de Força Elástica

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Enunciado

Considere um sistema mecânico de massa m = 10   k g no regime de amortecimento fraco ( γ ≪ ω 0 ) na presença de uma força externa F 0 , cuja curva de ressonância, com A m á x = 2   m , é apresentada na figura:

Determine o fator de qualidade Q do sistema:

(a) Q = 5

(b) Q = 4

(c) Q = 6

(d) Q = 3

(e) Q = 10

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um sistema mecânico de massa m = 10   k g que tá operando no regime de amortecimento fraco na presença de uma força externa. A curva de ressonância A 2 × ω é dada na figura e nós precisamos determinar o fator de qualidade Q do sistema.

O fator de qualidade pode ser definido por:

Q = 2 π ( E n e r g i a   a r m a z e n a d a   n o   o s c i l a d o r ) e n e r g i a   d i s s i p a d a   n o   c i c l o

Essa relação mostra a relação física desse fator. Mas o que podemos tirar disso? Que quanto maior for a dissipação da energia em um ciclo, menor será o fator Q .

É por isso que Q é dado pela equação:

Q = ω m á x Δ ω

Onde ω m á x é frequência oscilatória na amplitude máxima e Δ ω é a largura de banda. Mas o quê que é largura de banda mesmo?

A largura de banda é a variação da frequência externa oscilatória, quer dizer:

Δ ω = ω f - ω i

Onde ω f e ω i são obtidos através da curva de ressonância A 2 × ω . Nós vamos ao gráfico e traçamos uma curva horizontal em A m á x 2 2 . A partir do cruzamento dessa reta com o gráfico, descobrimos, no eixo horizontal, os dois valores de ω . A diferença desses dois valores nos dá a largura de banda. Olha só:

No nosso caso, o enunciado já marcou a reta horizontal pra gente (o que já ajuda muito), então nós só precisamos extrais os dois valores de ω , calcular a diferença entre eles para obter Δ ω = γ . Em seguida, extrair o valor de ω equivalente a A ( ω ) m á x (que a questão nos disse que é igual a 2   m ). Assim, substituir os valores na equação Q = ω m á x Δ ω , para obter o fator de qualidade do sistema.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no gráfico que a questão nos deu:

Ele já marcou pra gente a reta horizontal em A 2 ω 2 . Repare que a reta encontra o gráfico em ω i = 9 e em ω f = 11 . Então, calculando a largura de banda, temos:

Δ ω = ω f - ω i

Δ ω = 11 - 9 = 2   r a d / s

Olhando agora para o valor de ω equivalente a A m á x = 2   m , temos:

ω m á x = 10   r a d / s

Passo 3

Assim, para obter o fator de qualidade do sistema, basta usar a equação:

Q = ω m á x Δ ω

Com ω m á x = 10   r a d / s e Δ ω = 2   r a d / s , temos:

Q = 10   r a d / s   2   r a d / s

Q = 5  

Que é a nossa alternativa (A).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Q = 5  

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