Exercícios Resolvidos de Força Elástica

Dois blocos A e B,de massas m A e m B , respectivamente, estão colocados um sobre o outro conforme a figura abaixo. O bloco A está ligado a uma mola de constante elástica k . A mola não está em posição de equilíbrio e sim está destendida de um valor X do seu valor de equilíbrio conforme a figura. Os coeficientes de atrito estático entre as superfícies do bloco B e o chão e entre as superfícies do bloco A e B são μ 1 e μ 2 , respectivamente.

(a) Desenhe o diagrama de forças que agem separadamente nos blocos A e B.

(b) Suponha que μ 1 < μ 2 , e que todo o sistema esteja em repouso.

i . Escreva as equações de movimento para o bloco A e a força de atrito entre o bloco A e B.

i i . Escreva as equações de movimento para o bloco B e as forças de atrito entre o bloco B e o chão.

i i i . Quais são os pares de ação e reação?

i v . Determine X , em função de k , μ 1 , μ 2 , g , m B e m A de modo que a força de atrito entre o bloco B e o chão seja máxima.

(c) Suponha que μ 1 > μ 2 , e que todo o sistema esteja em repouso. Determine X em função de k , μ 1 , μ 2 , g , m B e m A , de modo que a força de atrito entre o bloco B e o bloco A seja máxima.

Passo 1

Vamos começar com o diagrama de forças sobre cada um dos blocos.

Bloco A:

Primeiramente temos uma força peso P → A para baixo e uma força normal N → A apontando para cima.

Além disso, a mola presa ao bloco A está distendida (esticada), ou seja, ela está puxando o bloco A com uma força elástica F → e l :

Essa força elástica tende a fazer o bloco A deslizar para a direita.

Portanto, a força de atrito F → a t A vai atuar contra essa tendência, ou seja, para a esquerda:

Bloco B:

Temos uma força peso P → B e uma força normal N → B (o chão exerce sobre o bloco B):

Além disso, se o bloco B exerce uma força de atrito e uma força normal sobre o bloco A, temos as reações dessas forças agindo sobre ele mesmo.

Ou seja, a força de atrito F → a t A ' que o bloco A exerce sobre B e a força normal N → A ' que o bloco A exerce sobre o bloco B (mesmo módulo e sentidos opostos):

OBS: Podemos representar N → A ' tanto em cima quanto em baixo do diagram do bloco B, o importante é que ela aponte na direção correta (para baixo).

Por último, temos uma força de atrito que o chão exerce sobre o bloco B.

Ele vai contra a tendência de deslizamento do bloco B, portanto ele atua para a esquerda:

O item (a) está respondido.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Suponha que μ 1 < μ 2 , e que todo o sistema esteja em repouso.

i . Escreva as equações de movimento para o bloco A e a força de atrito entre o bloco A e B.

Para isso, basta aplicar a Segunda Lei de Newton para o bloco A:

Como ele está em repouso, temos que:

F R = m a

F R = 0

Assim, podemos dizer que nos dois eixos a força resultante é nula:

F R x = 0 F R y = 0

No eixo x , temos:

F e l - F a t A = 0

F a t A = F e l

Como a força elástica é dada pela constante elástica k vezes a deformação da mola, temos que:

F a t = k X

No eixo y , temos:

P A - N A = 0

N A = m A g

Passo 3

i i . Escreva as equações de movimento para o bloco B e as forças de atrito entre o bloco B e o chão.

Vamos fazer o mesmo que no item anterior. Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para o bloco B:

Como ele está em repouso, temos que:

F R x = 0 F R y = 0

No eixo x , temos:

F a t A ' - F a t B = 0

F a t B = F a t A '

A força de reação F a t A ' apresenta o mesmo módulo de F a t A , portanto:

F a t B = F a t A = k X

No eixo y , temos:

P B + N A ' - N B = 0

N B = P B + N A '

Novamente, N A ' é a reação de N A , então elas apresentam o mesmo módulo que já calculamos m A g :

N B = m B g + m A g

N B = m A + m B g

Passo 4

i i i . Quais são os pares de ação e reação?

Pelo princípio de ação e reação (terceira Lei de Newton), quando vc exerce uma força sobre um corpo, esse corpo exerce uma força de mesma intensidade sobre você.

Portanto, o contato entre os blocos forma dois pares de ação e reação. O primeiro deles é a partir da força normal ( N A e N A ' ) e o segundo da força de atrito ( F a t A e F a t A ' ).

Passo 5

i v . Determine X , em função de k , μ 1 , μ 2 , g , m B e m A de modo que a força de atrito entre o bloco B e o chão seja máxima.

Uma força de atrito estático apresenta seu valor máximo quando:

F a t m á x = μ N

Portanto, se queremos que F a t B seja máxima, temos que ela valerá o coeficiente de atrito estático entre a superfície do bloco B e o chão μ 1 vezes a força normal nessa superfície N B :

F a t B = μ 1 N B

Já sabemos o valor de N B em função das variáveis do problema:

F a t B = μ 1 m A + m B g

Passo 6

Queremos achar X para essa situação, então vamos utilizar a expressão da Segunda Lei de Newton na horizontal para o bloco B:

F a t B = k X

Substituindo a expressão da força de atrito:

μ 1 m A + m B g = k X

X = μ 1 m A + m B g k

Isso significa que para esse valor de deformação X , a força de atrito impedindo o bloco B de deslizar estará em seu valor limite.

Passo 7

(c) Suponha que μ 1 > μ 2 , e que todo o sistema esteja em repouso. Determine X em função de k , μ 1 , μ 2 , g , m B e m A , de modo que a força de atrito entre o bloco B e o bloco A seja máxima.

Se queremos que F a t A seja máxima, ela valerá o coeficiente de atrito estático entre a superfície dos blocos μ 2 vezes a força normal nessa superfície N A :

F a t A = μ 2 N A

Já sabemos o valor de N A em função das variáveis do problema:

F a t A = μ 2 m A g

Passo 8

Queremos achar X para essa situação, então vamos utilizar a expressão da Segunda Lei de Newton na horizontal para o bloco A:

F a t A = k X

Substituindo a expressão da força de atrito:

μ 2 m A g = k X

X = μ 2 m A g k

Isso significa que para esse valor de deformação X , a força de atrito impedindo o bloco A de deslizar estará em seu valor limite.

Resposta

(a)

(b)

i .

F R x = 0 F R y = 0

F a t A = k X

N A = m A g

i i .

F R x = 0 F R y = 0

F a t B = k X

N B = m A + m B g

i i i .

N A e N A '

F a t A e F a t A '

i v .

X = μ 1 m A + m B g k

(c)

X = μ 2 m A g k

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